Đề khảo sát HSG vòng 5 Toán 9 năm 2024 - 2025 phòng GDĐT Đông Hưng - Thái Bình

UBND HUYỆN ĐÔNG HƯNG PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ KHẢO SÁT CHỌN NGUỒN HỌC SINH GIỎI VÒNG 5

MÔN TOÁN 9 NĂM HỌC 2024 – 2025 (Thời gian làm bài: 120 phút)

Bài 1: (5,0 điểm).

1. Cho biểu thức: 2 : 1 1 1 1 x y x y x y xy P xy xy xy

                               

a. Rút gọn P b. Tính giá trị của P khi 2 2 3 x 



c. Tìm giá trị lớn nhất của P.

2. Cho

3 10 6 3( 3 1)

6 2 5 5 x   

 

. Tính giá trị của  

2025 2 P 12x + 4x – 55  .

Bài 2: (4,0 điểm): Cho phương trình 2 2 ( 5) 2 6 0(1) m x mx m     với m là tham số.

a. Tìm m sao cho phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt. Chứng minh rằng khi đó tổng của hai nghiệm không thể là số nguyên. b. Tìm m sao cho phương trình (1) có hai nghiệm x1;x2 thỏa mãn điều kiện.

 

4

1 2 1 2 16 x x x x   

Bài 3: (4,0 điểm) 1. Bạn Phong đi siêu thị nếu mua 1 chiếc áo polo Lacoste và 1 đôi giày hãng Li-Ning theo giá niêm yết hết 800 000 đồng. Nhưng gặp đợt khuyến mãi nên 1 chiếc áo polo Lacoste giảm 5% và 1 đôi giày hãng Li-Ning giảm 10%, vì vậy bạn Phong chỉ phải trả 735 000 đồng. a. Hãy tính giá niêm yết ban đầu của 1 chiếc áo polo Lacoste và 1 đôi giày hãng Li-Ning ? b. Ngoài ra, siêu thị có thêm ưu đãi nếu khách hàng có hóa đơn từ 2 000 000 đồng trở lên sẽ được giảm tiếp 10% trên tổng số tiền đã mua. Trong dịp này, bạn Phong đã mua 4 chiếc áo polo Lacoste và 2 đôi giày hãng Li-Ning. Hỏi bạn Phong trả hết tất cả bao nhiêu tiền ?

2. Giải hệ phương trình

3 3 2

2 2

3 6 3 4 0

3 1

x y x x y

x y x

           

Bài 4 (6 điểm). Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi M là một điểm bất kì thuộc cung nhỏ BC của đường tròn (O). Trên MA lấy điểm I sao cho MI = MB.

a. Chứng minh rằng ABI CBM   suy ra MA = MB + MC.

b. Gọi D là giao điểm của MA và BC. Chứng minh rằng 1 1 1 MB MC MD  

c. Chứng minh rằng 2 2 2 2 2 MA MB MC AB   

Bài 5: (1,0 điểm) Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn x + y + z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức: T =

2 2 2 x y z y z z x x y     

---Hết---

HƯỚNG DẪN CHẤM

Bài ý Đáp án và hướng dẫn chấm Điểm

1

1a) 1.5đ

2 : 1 1 1 1 x y x y x y xy P xy xy xy

                               

ĐKXĐ x, y 0; xy  1

  

  

  

  

1 1 1 2 : 1 1 1 1 1

x y xy x y xy P xy

                           

  

1 : 1 1 1

x x y y y x x x y y y x x y xy P xy xy xy

             

    

2 2 ( 1)( 1) : 1 1 1 1

x y x x y P

xy xy xy xy

   

   

    

     

1 1 2 1 . 1 1 1 1

xy xy x y P x y xy xy

       

2

1 x P x  

Với x 0 ; y 0; xy  1 thì 2

1 x P x  

0.25

0.25

0.25

0.25

0.25

0.25

1b) 1.0đ

ĐKXĐ x, y 0; xy  1

   

2 2 2 3 2 3 1 ( ) 1 2 3 x tm      

suy ra 3 1 x  

nên   2 3 1 6 3 2 13 4 2 3 1 P

     

Với 2 2 3 x 



thì P = 6 3 2 13



0.25

0.25

0.25

0.25

1c) 1.0đ

ĐK: x 0 ; y  0; xy  1

Áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số không âm ta được:

1 2 x x 

2 1 1 1 1 x x P x x

     

Pmax = 1 khi và chỉ khi x = 1

Kết hợp với đk suy ra x =1; y  0; y  1

Vậy x =1; y  0; y  1 thì Pmax = 1

0.25

0.25

0.25

0.25

2) 1.5đ

Ta có :     3 3 3 10 6 3 3 1 ( 3 1) 3 1      0,25

2 6 2 5 5 ( 5 1) 5      0,25

 

 

   3 3

2 ( 3 1) 3 1 3 1 3 1 3 1 2 1 5 1 5 5 1 5 x

           

(TMĐK)

0,5

Thay giá trị của x vào P ta được:

 

2025 2025 2 P 12.2 4. 2 55 1 1     

Vậy giá trị của 1 P  tại

3 10 6 3( 3 1)

6 2 5 5 x   

 

0,5

2 a) 2.0đ

2 2 ( 5) 2 6 0 (1) m x mx m    

* Phương trình (1) có 2 5 0 a m  

2 2

2 3 ' ( 5).6

' 6 30

m m m

m m m

  

  

Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt 1 2 ; x x thì ' 0 

suy ra 2 3 6 30 0 m m m   

suy ra 2 (6 30) 0 m m m    suy ra

2 2 1 119 5 0 2 4 m m m                       

suy ra 0 m vì

2 2 1 119 5 0 2 4 m m            …