Đề chọn học sinh giỏi tỉnh Toán THCS năm 2024 - 2025 sở GDĐT Phú Yên

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH PHÚ YÊN Ngày thi: 05/03/2025

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TRUNG HỌC CƠ SỞ CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2024 – 2025

Câu 1: (4.00 điểm) Cho biểu thức: 𝐴𝐴= ቀ 𝑥𝑥−1

𝑥𝑥+2√𝑥𝑥+1+1 + 1

√𝑥𝑥+1+2ቁ× √𝑥𝑥+1+1

√𝑥𝑥+1−1

a) Tìm điều kiện xác định của 𝐴𝐴

b) Chứng minh rằng: 𝐴𝐴= √𝑥𝑥+1+1

√𝑥𝑥+1

c) Với giá trị nguyên nào của 𝑥𝑥 thì 𝐴𝐴 có giá trị nguyên.

Câu 2: (3.00 điểm) Cho

⎩ ⎪⎨

⎪⎧𝑎𝑎= 𝑥𝑥+ 1 𝑥𝑥 𝑏𝑏= 𝑦𝑦+ 1 𝑦𝑦

𝑐𝑐= 𝑥𝑥𝑥𝑥+ 1 𝑥𝑥𝑥𝑥

và biểu thức 𝐵𝐵= 𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏2 + 𝑐𝑐2 −𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎

Chứng minh rằng với mọi giá trị của 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 thì biểu thức 𝐵𝐵 không phụ thuộc vào biến 𝑥𝑥, 𝑦𝑦.

Câu 3: (4.00 điểm) Giải phương trình sau: 𝑥𝑥2 + ቀ 𝑥𝑥

𝑥𝑥−1ቁ 2 = 5

4

Câu 4: (4.00 điểm)

1. Cho đường tròn tâm (O) và hai dây cung MN, PQ cắt nhau tại I với cung QN không chứa

điểm P và cung MP không chứa điểm Q. Chứng minh rằng: 𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁 ෢= 1

2 𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑄𝑄𝑄𝑄 ෢+ 𝑀𝑀𝑀𝑀 ෢).

2. Chứng minh rằng một tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180 độ là tứ giác nội tiếp. 3. Trên đường tròn tâm (O) lấy ba điểm A, B, C sao cho 𝐴𝐴𝐴𝐴 ෢= 𝐵𝐵𝐵𝐵 ෢. Dựng hai dây cung BD và BE, chúng cắt dây AC lần lượt tại hai điểm M và N. Chứng minh rằng. a) Tứ giác EDMN là tứ giác nội tiếp b) Nếu AN = CM thì tứ giác EDMN là hình gì? Vì sao? Câu 5: (3.00 điểm) Cho hai đường tròn (O1; R) và (O2; r) tiếp xúc ngoài tại I (R > r). Một đường thẳng d không đi qua I đồng thời tiếp xúc với (O1; R) và (O2; r) lần lượt tại hai điểm A, B. Gọi H là chân đường cao kẻ từ O2 đến cạnh O1A. Gọi M là trung điểm của AH, đường thẳng qua M vuông góc với AH cắt đường tròn (O1; R) tại điểm K (K khác phía I so với AH). Chứng minh rằng: a) AK = √𝑅𝑅𝑅𝑅. b) Đường thẳng KH tiếp xúc với (O2; r).

Câu 6: (2.00 điểm) Cho hai số 𝑥𝑥≥0, 𝑦𝑦≥0. Chứng minh rằng: (𝑥𝑥−2𝑦𝑦)(1−2𝑥𝑥𝑥𝑥)

(𝑥𝑥+1)2(1+2𝑦𝑦)2 ≤ 1

4

LỜI GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH PHÚ YÊN

NĂM HỌC 2024 – 2025 (ĐÁP ÁN THAM KHẢO)

Câu 1: (4.00 điểm) Cho biểu thức: 𝐴𝐴= ቀ 𝑥𝑥−1

𝑥𝑥+2√𝑥𝑥+1+1 + 1

√𝑥𝑥+1+2ቁ× √𝑥𝑥+1+1

√𝑥𝑥+1−1

a) Tìm điều kiện xác định của 𝐴𝐴

b) Chứng minh rằng: 𝐴𝐴= √𝑥𝑥+1+1

√𝑥𝑥+1

c) Với giá trị nguyên nào của 𝑥𝑥 thì 𝐴𝐴 có giá trị nguyên.

Bài giải:

a) Để biểu thức 𝐴𝐴 xác định thì: ቐ 𝑥𝑥+ 2√𝑥𝑥+ 1 + 1 ≠0 √𝑥𝑥+ 1 −1 ≠0 𝑥𝑥+ 1 ≥0

Với 𝑥𝑥+ 2√𝑥𝑥+ 1 + 1 ≠0 thì ta có:

𝑥𝑥+ 2√𝑥𝑥+ 1 + 1 = √𝑥𝑥+ 1൫√𝑥𝑥+ 1 + 2൯≠0

Suy ra: √𝑥𝑥+ 1 ≠0 hoặc √𝑥𝑥+ 1 + 2 ≠0 (luôn đúng) Do đó: √𝑥𝑥+ 1 ≠0, suy ra 𝑥𝑥≠−1 Với √𝑥𝑥+ 1 −1 ≠0 thì ta có:

√𝑥𝑥+ 1 ≠1 𝑥𝑥+ 1 ≠1 𝑥𝑥≠0 Với 𝑥𝑥+ 1 ≥0 thì ta có: 𝑥𝑥≥−1 Vậy để biểu thức 𝐴𝐴 xác định thì: 𝑥𝑥> −1 và 𝑥𝑥≠0

b) 𝐴𝐴= ቀ 𝑥𝑥−1

𝑥𝑥+2√𝑥𝑥+1+1 + 1

√𝑥𝑥+1+2ቁ× √𝑥𝑥+1+1

√𝑥𝑥+1−1

𝐴𝐴= ൬ 𝑥𝑥−1

√𝑥𝑥+1൫√𝑥𝑥+1+2൯+ 1

√𝑥𝑥+1+2൰× √𝑥𝑥+1+1

√𝑥𝑥+1−1

𝐴𝐴= 𝑥𝑥−1+√𝑥𝑥+1

√𝑥𝑥+1൫√𝑥𝑥+1+2൯× √𝑥𝑥+1+1

√𝑥𝑥+1−1

Đặt 𝑎𝑎= √𝑥𝑥+ 1, khi đó biểu thức trở thành:

𝐴𝐴= 𝑎𝑎2−2+𝑎𝑎

𝑎𝑎(𝑎𝑎+2) × 𝑎𝑎+1

𝑎𝑎−1 = (𝑎𝑎2+𝑎𝑎−2)(𝑎𝑎+1)

𝑎𝑎(𝑎𝑎−1)(𝑎𝑎+2)

Ta có: 𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎−2 = 𝑎𝑎2 −𝑎𝑎+ 2𝑎𝑎−2 = 𝑎𝑎(𝑎𝑎−1) + 2(𝑎𝑎−1) = (𝑎𝑎−1)(𝑎𝑎+ 2) Khi đó biểu thức trở thành:

𝐴𝐴= (𝑎𝑎−1)(𝑎𝑎+1)(𝑎𝑎+2)

𝑎𝑎(𝑎𝑎−1)(𝑎𝑎+2) = 𝑎𝑎+1

𝑎𝑎 = √𝑥𝑥+1+1

√𝑥𝑥+1 (đpcm)

c) Ta có 𝐴𝐴= √𝑥𝑥+1+1

√𝑥𝑥+1 = 1 + 1

√𝑥𝑥+1

Để 𝐴𝐴 có giá trị nguyên thì 1 + 1

√𝑥𝑥+1 sẽ có giá trị nguyên, mà 1 đã là số nguyên nên do đó

1

√𝑥𝑥+1 cũng sẽ là số nguyên hay 1 chia hết cho √𝑥𝑥+ 1.

Điều này tương đương với √𝑥𝑥+ 1 thược ước của 1. Hay √𝑥𝑥+ 1 ∈ {±1} mà √𝑥𝑥+ 1 > 0 nên √𝑥𝑥+ 1 = 1, suy ra: 𝑥𝑥+ 1 = 1 hay 𝑥𝑥= 0. Nhưng để 𝐴𝐴 xác định thì 𝑥𝑥 phải thỏa mãn 𝑥𝑥> −1 và 𝑥𝑥≠0. Do đó không có giá trị nguyên nào xủa 𝑥𝑥 thỏa mãn để 𝐴𝐴 là số nguyên.

Câu 2: (3.00 điểm) Cho

⎩ ⎪⎨

⎪⎧𝑎𝑎= 𝑥𝑥+ 1 𝑥𝑥 𝑏𝑏= 𝑦𝑦+ 1 𝑦𝑦

𝑐𝑐= 𝑥𝑥𝑥𝑥+ 1 𝑥𝑥𝑥𝑥

và biểu thức 𝐵𝐵= 𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏2 + 𝑐𝑐2 −𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎

Chứng minh rằng với mọi giá trị của 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 thì biểu thức 𝐵𝐵 không phụ thuộc vào biến 𝑥𝑥, 𝑦𝑦.

Bài giải:

Ta có: 𝑎𝑎= 𝑥𝑥+ 1 𝑥𝑥 , suy ra 𝑎𝑎2 = 𝑥𝑥2 + 1

𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥 1

𝑥𝑥= 𝑥𝑥2 + 1

𝑥𝑥2 + 2

𝑏𝑏= 𝑦𝑦+ 1 𝑦𝑦 , suy ra 𝑏𝑏2 = 𝑦𝑦2 + 1

𝑦𝑦2 + 2𝑦𝑦 1

𝑦𝑦= 𝑦𝑦2 + 1

𝑦𝑦2 + 2

𝑐𝑐= 𝑥𝑥𝑥𝑥+ 1 𝑥𝑥𝑥𝑥 , suy ra 𝑐𝑐2 = 𝑥𝑥𝑥𝑥2 + 1

(𝑥𝑥𝑥𝑥)2 + 2𝑥𝑥𝑥𝑥

1

(𝑥𝑥𝑥𝑥) = (𝑥𝑥𝑥𝑥)2 + 1

(𝑥𝑥𝑥𝑥)2 + 2

𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐= ቀ𝑥𝑥+ 1 𝑥𝑥ቁቀ𝑦𝑦+ 1 𝑦𝑦ቁቀ𝑥𝑥𝑥𝑥+ 1 𝑥𝑥𝑥𝑥ቁ = ቀ𝑥𝑥𝑥𝑥+ 1 𝑥𝑥𝑥𝑥+ 𝑥𝑥 𝑦𝑦+ 𝑦𝑦 𝑥𝑥ቁቀ𝑥𝑥𝑥𝑥+ 1 𝑥𝑥𝑥𝑥ቁ

= (𝑥𝑥𝑥𝑥)2 + 1

(𝑥𝑥𝑥𝑥)2 + 𝑥𝑥2 + 1

𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 + 1

𝑦𝑦2 + 2

Do đó: 𝐵𝐵= 𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏2 + 𝑐𝑐2 −𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎

𝐵𝐵= 𝑥𝑥2 + 1

𝑥𝑥2 + 2 + 𝑦𝑦2 + …