Đề chọn học sinh giỏi tỉnh Toán 9 năm 2024 - 2025 sở GDĐT Tuyên Quang

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TUYÊN QUANG

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2024 – 2025 Môn thi: Toán Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

(Đề này có 01 trang) Câu 1 (5,0 điểm).

a) Rút gọn biểu thức

1 1 2 : , 1 1 1 1 x x x P x x x x x x x x x x

   + = + −    + + + + − − + −   

với 0, 1. x x  

b) Có một mảnh đất hình tam giác đều với độ dài mỗi cạnh bằng 24 mét. Người ta muốn cắt ra một ô đất có dạng hình chữ nhật như hình bên để làm nhà. Hỏi diện tích ô đất hình chữ nhật lớn nhất bằng bao nhiêu?

Câu 2 (5,0 điểm).

a) Cho parabol ( ) : P 2 y x = và đường thẳng : 2 3 d y x m = − − + (m là tham số). Tìm tất cả

các giá trị của m để ( ) P và d cắt nhau tại hai điểm phân biệt , A B cùng nằm về bên trái trục

tung ( , A B không trùng gốc tọa độ).

b) Giải hệ phương trình: 1 1 15. 3 4

x y

x y xy

 + + + = 

+ = + 

Câu 3 (5,0 điểm). Cho tam giác nhọn ( ) ABC AB AC  nội tiếp đường tròn ( ). O Gọi I là

điểm chính giữa cung BC không chứa . A Trên cạnh AC lấy điểm K khác C sao cho . IK IC =

a) Chứng minh rằng ABK là tam giác cân.

b) Đường thẳng BK cắt ( ) O tại ( ). D D B  Trên DI lấy điểm M sao cho CM song song

với . AD Đường thẳng KM cắt đường thẳng BC tại . N Chứng minh rằng DI là đường trung trực của đoạn thẳng KC và KC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác . BKN

c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác BKN cắt ( ) O tại ( ). P P B  Chứng minh rằng đường

thẳng PK đi qua trung điểm của đoạn thẳng . AD

Câu 4 (3,0 điểm). Cho đa thức 101 2 ( ) , P x x ax bx c = + + + với , , a b c có ba nghiệm nguyên

là 1 2 3 , , x x x . Chứng minh rằng:

a) ( ) 2 1 1 1 ax b x c + + + chia hết cho 101.

b) 1 2 2 3 3 1 ( 1)( )( )( ) a b c x x x x x x + + + − − − chia hết cho 101.

Câu 5 (2,0 điểm). Ban đầu, Thầy giáo có 20 chiếc kẹo chia đều thành 2 phần quà. Mỗi lần thay đổi, Thầy giáo lấy ở mỗi phần quà ra 2 chiếc kẹo để lập một phần quà mới (phần quà nào hết kẹo thì bỏ đi). Hỏi sau hữu hạn lần thay đổi, Thầy giáo có nhiều nhất bao nhiêu phần quà và số kẹo ở mỗi phần quà là bao nhiêu?

-----Hết-----

Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay trong khi làm bài.

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

ĐỀ CHÍNH THỨC

1

HƯỚNG DẪN CHẤM

ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 9, CẤP TỈNH NĂM HỌC 2024-2025

(Hướng dẫn chấm có 05 trang)

----- Câu 1 (5,0 điểm).

a) Rút gọn biểu thức

1 1 2 : , 1 1 1 1 x x x P x x x x x x x x x x

                    

với 0, 1. x x  

Hướng dẫn chấm Điểm

Ta có:

( 1) 1 1 2 : 1 ( 1) ( 1) 1 ( 1) ( 1) x x x P x x x x x x x x

                    

1,0

       

. 1 1 1 2 : 1 1 1 1 1 1

x x x P x x x x x x

                     

0,5

 

2 1 1 2 1 1 : : 1 1 ( 1)( 1) ( 1)( 1)

x x x x x P x x x x x x

            

0,5

1 1 1 1 1 : . 1 1 1 1 1 x x x x x P x x x x x             

0,5

Vậy với 0; 1 x x   thì 1. 1 x P

x

 



0,5

b) Có một mảnh đất hình tam giác đều với độ dài mỗi cạnh bằng 24 mét. Người ta muốn cắt ra một ô đất có dạng hình chữ nhật như hình bên để làm nhà. Hỏi diện tích ô đất hình chữ nhật lớn nhất bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn chấm Điểm

Đặt 24 2 BM x MN x     với 0 12 x   .

0,25

QBM  vuông tại .tan60 3. M QM BM x    0,25