Đề thi thử vào lớp 10 môn Toán (chuyên) năm 2025 lần 2 trường chuyên ĐHSP Hà Nội

.

TRƯỜNG ĐHSP HÀ NỘI

TRƯỜNG THPT CHUYÊN

(Đềthi gồm có: 01 Trang)

THI THỬVÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM 2025–LẦN 2

BÀI THI MÔN: TOÁN CHUYÊN

(Dành cho thí sinh thi thửvào Chuyên Toán, Tin)

Thời gian làm bài: 150 phút, không kểthời gian phát đề

————————————————————— .

Họvà tên thí sinh:.................................................................. Sốbáo danh :.......................

Câu 1. (2,0 điểm)

a) Cho các sốdương a, b. Chứng minh rằng: a a + 1 + b b + 2 < √a + √

b 2 .

b) Trong một khu vườn nhỏcó 3 con thỏvà 3 cây cà rốt. Mỗi con thỏsẽchọn ngẫu nhiên một cây cà rốt đểăn. Tính xác suất đểmỗi cây cà rốt được chọn bởi không quá một con thỏ(tức là không có hai con thỏnào chọn cùng một cây cà rốt).

Câu 2. (2,0 điểm)

a) Giải hệphương trình:

 

 (x + y)(x2 + y2) = 567 √xy(x + y)2 = 243.

b) Cho các sốhữu tỉdương a, b, c thoảmãn điều kiện

a + b + c = 2 √

abc.

Chứng minh rằng, S = bc −b −c

a là bình phương của một sốhữu tỉ.

Câu 3. (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC, nội tiếp đường tròn (O) và ngoại tiếp đường tròn (I). Đường tròn (I) tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F. Đường tròn đường kính AI cắt đường tròn (O) tại điểm thứhai K (khác A). Đường thẳng KD cắt lại đường tròn đường kính AI tại điểm thứhai P (khác K). Giảsửcác đường thẳng AK và BC cắt nhau tại Q. Chứng minh rằng

a) ∆KEC ∽∆KFB và KD là phân giác của góc ’ BKC.

b) AP ⊥BC.

c) IQ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác IBC.

Câu 4. (2,0 điểm) Một sốnguyên dương được gọi là sốgiầu có nếu như tổng tất cảcác ước số dương của nó lớn hơn hai lần sốđó. Sốnguyên dương mà không phải là sốsốgiầu có được gọi là số thiếu thốn. Chứng minh rằng

a) Có vô sốsốthiếu thốn.

b) N = 6 · 2n là sốgiầu có với mọi sốnguyên dương n.

Câu 5. (1,0 điểm) Trên bảng viết 1 000 sốnguyên liên tiếp. Trong mỗi lượt di chuyển, ta chia các sốđã viết thành các cặp tùy ý, và thay thếmỗi cặp sốbằng tổng và hiệu của chúng (không nhất thiết phải trừsốlớn hơn cho sốnhỏhơn; tất cảcác phép thay thếdiễn ra đồng thời). Hỏi, sau một sốhữu hạn lần di chuyển như trên, trên bảng có thểxuất hiện dãy gồm 1 000 sốnguyên liên tiếp nữa hay không?

..............................HẾT..............................

.

TRƯỜNG ĐHSP HÀ NỘI

TRƯỜNG THPT CHUYÊN

(Đềthi gồm có: 01 Trang)

THI THỬVÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM 2025–LẦN 2

BÀI THI MÔN: TOÁN CHUYÊN

(Dành cho thí sinh thi thửvào Chuyên Toán, Tin)

Thời gian làm bài: 150 phút, không kểthời gian phát đề

—————————————————————

I. HƯỚNG DẪN CHUNG

1) Nếu học sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án nhưng đúng thì cho đủsốđiểm từng phần như hướng dẫn quy định.

2) Việc chi tiết hóa (nếu có) thang điểm trong hướng dẫn chấm phải đảm bảo không làm sai lệch hướng dẫn chấm và phải được

thống nhất thực hiện trong tổchấm.

II. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM

Câu Nội dung Điểm

Câu 1

a) Ta có nhận xét: Nếu x, y là các sốdương thì x + y

2 ≥√xy. Do đó

a a + 1 ≤ a 2√a = √a

2 .

Mặt khác b b + 2 ≤ b 2 √

2b =

√

b 2 √

2 <

√

b 2 .

Cộng các bất đẳng thức lại ta có kết quả.

1,0

b) Phép thửngẫu nhiên: 3 con thỏchọn ngẫu nhiên 3 cây cà rốt. Nếu kí hiệu 1, 2, 3 là các

cây cà rốt thì tập hợp gồm các kết quảcó thểxảy ra của phép thửđó là tập hợp Ωgồm các

bộ(i; j; k) với i, j, k ∈{1; 2; 3}. Sốphần tửcủa tập hợp Ωlà 27.

0,5

Gọi E là biến cố: ”mỗi cây cà rốt được chọn bởi không quá một con thỏ”. Tập các kết quả

thuận lợi cho E là (i, j, k) với i, j, k đôi một khác nhau và i, j, k ∈{1; 2; 3}. Sốcác kết quả

thuận lợi là 6. 0,25

Vậy xác suất đểkhông có hai con thỏnào chọn cùng một cây cà rốt là

P(E) = 6

27 = 2

9. 0,25

Câu 2 a) Điều kiện xy ≥0. Từhệphương trình ta có xy > 0 và x + y > 0 và

3(x + y)(x2 + y2) = 7√xy(x + y)2

hay 3(x2 + y2) = 7√xy(x + y).

0,25