Đề khảo sát Toán (chuyên) vào lớp 10 năm 2025 - 2026 trường THPT chuyên Thái Nguyên

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG THPT CHUYÊN

ĐỀ THI KHẢO SÁT VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN

NĂM HỌC 2025 – 2026 (Dành cho thí sinh thi vào chuyên Toán)

Thời gian làm bài: 150 phút. (ĐỀ THI GỒM CÓ 01 TRANG)

Câu 1 (1,5 điểm). Cho biểu thức 1 3 : 2 1 3 2 3 1 x x x S

x x x x x

                    

a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức .S

b) Tìm tất cả các số thực x thoả mãn   3 1. 2 5 2 . x x S x x     

Câu 2 (1,5 điểm).

a) Giải hệ phương trình

2 2

3 3

2

. 4 3

x y

x y x y

        

b) Từ một tấm bìa hình tam giác vuông cân có cạnh bên bằng 10 dm, bác An cắt một hình chữ nhật có hai đỉnh thuộc cạnh đáy và mỗi cạnh bên chứa một đỉnh còn lại để làm biển quảng cáo. Hỏi bác An có thể cắt được hình chữ nhật có diện tích lớn nhất là bao nhiêu? Câu 3 (1,0 điểm). Bạn Ân thực hiện một thí nghiệm: Gieo một con xúc sắc có sáu mặt cân đối, đồng chất hai lần liên tiếp. a) Tính số phần tử của không gian mẫu . b) Tính xác suất của biến cố A: “Tổng hai lần gieo là một số nguyên tố”. Câu 4 (1,0 điểm). Tìm tất cả các số nguyên n để biểu thức 4 3 2 2 4 2 3 A n n n n      là số chính phương.

Câu 5 (1,0 điểm). Cho p là số nguyên tố lớn hơn 5 và

2 4 1 3

p n   . Chứng minh rằng

5 4 1 n chia hết cho 3 .n

Câu 6 (1,0 điểm). Cho tập hợp   1; 2;...; 4048 . S  Chứng minh rằng khi chọn 2025 số bất

kì trong tập S ta luôn chọn được 2 số trong 2025 số đó mà số này là bội của số kia.

Câu 7 (3,0 điểm). Cho tam giác ABC cân tại A ngoại tiếp đường tròn . I Một tiếp tuyến

bất kì của đường tròn  I tại điểm P cắt hai đoạn thẳng , AB AC lần lượt tại , F E ( E

khác A và , C F khác A và B). Hạ , EK FLcùng vuông góc với   , . BC K L BC  Gọi

FK cắt LE tại điểm .J Hạ JH vuông góc với  . BC H BC 

a) Chứng minh rằng  . EHJ FHJ  b) Chứng minh rằng 2 2 . . . CEJK BFJL BF S CE S 

c) Gọi M là giao điểm của PJ và . EK Chứng minh rằng . . . MK PF CE ME PE BF 

------------------------------- HẾT----------------------------------

Họ tên thí sinh ………………………………………..Số báo danh ……………….

HƯỚNG DẪN CHẤM THI KHẢO SÁT VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN

NĂM HỌC 2025 – 2026 (Dành cho thí sinh thi vào chuyên Toán)

Câu Nội dung Điểm Câu 1

Cho biểu thức 1 3 : 2 1 3 2 3 1 x x x S

x x x x x

                    

a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức .S

b) Tìm tất cả các số thực x thoả mãn   3 1. 2 5 2 x x S x x     

1,5 đ

a) ĐKXĐ

0 0

1 1

x x

x x

           

Ta có:

      

 

  

  

1 3 : 2 1 3 2 3 1

3 1 1 2 1 3 :

1 1 3

3 1 2 1 :

1 1 3

2 1 1 1 .

2 1 3 1 3

x x x S

x x x x x

x x x x x x S

x x x

x x x x x S

x x x

x x S

x x x x

                    

       

  

    

  

       

0.25

0,25

0,25

0,25

b) Ta có

 

     

   

 

1 3 1. 2 5 2 3

1 1 2 5 3 2 4 0 1

2 2 2 2 2 0 1 1 2 5 3 1 2 2 2 0 1 1 2 5 3

x x x x x

x x x x

x x x x x

x

x x

     

       

        

            

Nhận xét 1 2 2 2 1 2 0 3 1 1 2 5 3 x x        

suy ra   2 TM x 

0,25

0,25

Câu 2

a) Giải hệ phương trình

2 2

3 3

2

. 4 3

x y

x y x y

        

b) Từ một tấm bìa hình tam giác vuông cân có cạnh bên bằng 10 dm, bác An cắt một hình chữ nhật có hai đỉnh thuộc cạnh đáy và mỗi cạnh bên chứa một đỉnh còn lại để làm biển quảng cáo. Hỏi bác An có thể cắt được hình chữ nhật có diện tích lớn nhất là bao nhiêu?

1,5 đ