Đề thi thử vào 10 chuyên môn Toán (chuyên) năm 2025 lần 1 trường chuyên ĐHSP Hà Nội

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

TRƯỜNG THPT CHUYÊN

Đềthi gồm có: 01 trang

KỲTHI THỬVÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN

NĂM 2025 - LẦN 1

BÀI THI MÔN: TOÁN CHUYÊN

Dành cho các thí sinh thi thửvào chuyên Toán, chuyên Tin

Thời gian làm bài: 120 phút, không kểthời gian phát đề Họvà tên thí sinh:. . . . . . . . . . . . . . . . . .

Sốbáo danh:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Câu 1. (2,0 điểm)

a/ Giải phương trình √

9 −2x2 + 3√

x2 + 4 = 3.

b/ Cho x, y, z là các sốthực dương thỏa mãn 4x2 + y2 = 32z2. Chứng minh rằng 1

x + 2

y −1

z ≥0.

Câu 2. (1,0 điểm) Tồn tại hay không một tập hợp A khác rỗng, là tập con của tập các sốtựnhiên

và thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau?

◦Với hai sốtựnhiên phân biệt bất kỳmà có tổng là sốchẵn thì ít nhất một trong hai sốđó thuộc

tập hợp A.

◦Với hai sốtựnhiên phân biệt bất kỳmà có tổng là sốlẻthì ít nhất một trong hai sốđó không

thuộc tập hợp A.

Câu 3. (1,0 điểm) Một rô-bốt di chuyển trên một bảng gồm 7 ô được đánh sốtừ1 đến 7 như hình

vẽsau.

Ban đầu, rô-bốt đứng ởô số4. Mỗi bước, nó có thểnhảy sang trái hoặc sang phải, mỗi hướng

có xác suất bằng nhau, và mỗi lần nhảy chỉdi chuyển đúng một ô. Tại ô số1 và ô số7 có đặt kẹo,

và khi rô-bốt đến một trong hai ô này, nó lấy kẹo và dừng lại. Tính xác suất đểrô-bốt lấy kẹo sau

đúng 3 bước.

Câu 4. (3,0 điểm)

a/ Cho a, b là hai sốnguyên trái dấu. Biết rằng phương trình x2 + ax + b = 0 có nghiệm nguyên và

phương trình x2 + bx + a = 0 có nghiệm nguyên. Chứng minh rằng a + b = −1.

b/ Tìm sốnguyên z và các sốhữu tỷx, y thỏa mãn điều kiện 3 √

2x −1 = 1 − r3

y = z x + y.

Câu 5. (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn, không cân ABC nội tiếp đường tròn (O), gọi AH, AD lần

lượt là đường cao và đường phân giác trong góc A (H, D ∈BC). Gọi M là giao điểm của AO và

BC. Đường trung trực của đoạn thẳng AD cắt (O) tại E, F. Chứng minh rằng

a/ Trực tâm của tam giác DEF thuộc (O).

b/ Bốn điểm H, E, F, M cùng thuộc một đường tròn.

———————–Hết———————– Chú ý. Thí sinh không được dùng tài liệu. Giám thịkhông giải thích gì thêm.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

TRƯỜNG THPT CHUYÊN

(Hướng dẫn chấm có 04 trang)

KỲTHI THỬVÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN

NĂM 2025 - LẦN 1

(Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán và chuyên Tin)

Thời gian làm bài: 120 phút, không kểthời gian phát đề

I. Hướng dẫn chung

1) Nếu học sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án nhưng đúng thì cho đủsốđiểm từng

phần như hướng dẫn quy định.

2) Việc chi tiết hóa (nếu có) thang điểm trong hướng dẫn chấm phải bảo đảm không làm sai

lệch hướng dẩn chấm và phải được thống nhất thực hiện trong tổchấm.

II. Đáp án và thang điểm

Câu Nội dung Điểm

1a

(1,0

điểm)

Điều kiện xác định −3 √

2 2 ≤x ≤3 √

2 2 .

Đặt √

9 −2x2 = a, 3√

x2 + 4 = b (a ≥0, b > 0). Từphương trình đã cho ta có   

 

a + b = 3 (1)

a2 + 2b3 = 17 (2) .

(1) ⇔a = 3 −b. Thay vào (2) ta được 2b3 + b2 −6b −8 = 0. Phương trình này

tương đương với (b −2)(2b2 + 5b + 4) = 0. Do đó b = 2.

Ta có 3√

x2 + 4 = 2. Suy ra x = 2 hoặc x = −2. Thửlại thấy cảhai giá trịđều

thỏa mãn. Vậy phương trình đã cho tập nghiệm S = {−2, 2}.

1,0

1b

(1,0

điểm)

Theo đềbài, 4x2

z2 + y2

z2 = 32. Đặt x

z = t (t > 0).

Khi đó y

z = √

32 −4t2 = 2 √

8 −t2.

Ta có: z 1

x + 2

y

= z

x + 2z

y = 1

t + 2 2 √

8 −t2 = 1

t + 1 √

8 −t2.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy–Schwarz, ta có 1

t + 1 √

8 −t2 ≥ (1 + 1)2

t + √

8 −t2 = 4 t + √

8 −t2. (1)

0,5

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta được

(t + √

8 −t2)2 ≤(12 + 12)(t2 + 8 −t2) = 16.

Suy ra t + √

8 −t2 ≤4. Kết hợp với (1), ta được 1

t + 1 √

8 −t2 ≥1.

Do đó z 1

x + 2

y

≥1. Vậy 1

x + 2

y −1

z ≥0.

Dấu "=" xảy ra khi t = √

8 −t2 ⇔t = 2. Khi đó x

z = 2, y

z = 4.

0,5