Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chuyên) năm 2025 - 2026 sở GDĐT Hải Dương

CLB Toán Cơ Sở Phòng Nội Dung

1

SỞGIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HẢI DƯƠNG

ĐỀCHÍNH THỨC

KỲTHI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2025-2026 Môn thi: TOÁN (CHUYÊN)

Thời gian làm bài: 150 phút Câu 1. (2 điểm)

1) Cho biểu thức: , 1 2 1 1 1 2 : 9 4 6 3 2 1  

  

       

  

     x x x x x P với . 4 9 ,1 ,0    x x x

Tìm các giá trịnguyên của x đểbiểu thức P nhận giá trịnguyên.

2) Cho đa thức ,3 3 4 3 ) ( 2 3 4 5       x ax x x x x P trong đó a là sốthực. Tính )1( P biết

.0 ) 2 1( 3   P

Câu 2. (2,0 điểm)

1) Giải phương trình .0 4 1 3 4 5 2      x x x

2) Giải hệphương trình . 6 7 3 ) (

4 2 2 2

2 2

2 2



 

    

   

y x y x y

y y xy x

Câu 3. (2,0 điểm)

1) Tìm tất cảcác cặp sốnguyên (x;y) thoảmãn phương trình

.0 8 2 22 18 6 2 2 3 4        y x y x x x

2) Cho 3 sốtựnhiên, biết tổng của hai sốbất kỳtrong 3 sốđó là một sốchính phương. Chứng minh

rằng trong 3 sốđã cho có không quá một sốlẻ.

Câu 4. (3,0 điểm)

1) Cho tam giác ABC nhọn có AB < AC và các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi I là giao

điểm của EF và AH. KẻIJ song song với BC (J thuộc HE). Đường thẳng AJ cắt BC tại M.

a) Chứng minh . AMB AEF   

b) Gọi L là giao điểm của hai đường thẳng EF và BC. Chứng minh AC.LE= AB.LC.

2) Cho đường tròn (O;R) cốđịnh. Tam giác ABC thay đổi ngoại tiếp đường tròn (O;R), có

. 60  BAC Đường thẳng (d) thay đổi và luôn đi qua tâm O, (d) cắt các canh AB, AC lần lượt tại

M, N. Tính giá trịnhỏnhất của diện tích tam giác AMN theo R.

CLB Toán Cơ Sở Phòng Nội Dung

2

Câu 5. (1,0 điểm)

1) Trên mặt phẳng cho 2 x 2026 điểm phân biệt, trong đó không có bất kỳba điểm nào thằng hàng.

Người ta tô 2026 điểm trong các điểm đã cho bằng màu đỏvà tô 2026 điểm còn lại bằng màu xanh.

Chứng minh rằng, bao giờcũng tồn tại 2026 đoạn thẳng mà mỗi đoạn thằng có 2 điểm đầu mút là

một cặp điểm đỏ- xanh và 2 đoạn thẳng bất kỷtrong sốcác đoạn thẳng đó không có điểm chung.

2) Cho a,b,c là các sốthực dương thoảmãn . ca bc ab c b a      Chứng minh

.4 ) 1 )( 1 )( 1( 4 1 3 1 3 1 3           c b a c b a

-----HẾT-----

CLB Toán Cơ Sở Phòng Nội Dung

3

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀTHI CHUYÊN TOÁN

TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2025 - 2026

Câu 1.

1) Với . 4 9 ,1 ,0    x x x Ta có:

. 3 2 1 ) 1 .( 3 2 1

)1 )( 1 ( 1 : )3 2 )( 3 2 ( 3 2

)1 )( 1 ( )1 ( 2 1 2 : )3 2 )( 3 2 ( 6 )3 2 )( 3 2 ( 3 2

1 2 1 1 1 2 : 9 4 6 3 2 1

     

 

  



       

 

  



       

  



      

 

  

       

  

    

x x x x

x x x x x x

x x x x x x x x x

x x x x x P

Giảsửtồn tại x nguyên sao cho P nhận giá trịnguyên. Ta có:

.1 3 2 1 3 2 2 2 2        x x x P

Vì 1 2  P nguyên nên 3 2 1  x nguyên hay  . 1 ;1 3 2    x Hay    . 1;4 1;2    x x

Thửlại và kết hợp với điều kiện xác định thì x = 4 thỏa mãn.

Vậy x = 4 thì biểu thức P nhận giá trịnguyên.

2) Đặt .2 1 3   t Khi đó

3)1 ( 2  t hay .0 3 3 3 2 3     t t t

Như vậy t là nghiệm của phương trình .0 3 3 3 2 3     x x x (1)

Ta có: . ) 6 ( )3 3 3 )( 1 ( ) ( 2 2 3 2 x a x x x x x P        (2)

Thay t x  vào (2) và kết hợp với (1) thì . ) 6 ( ) ( 0 2t a t P   

Suy ra .6 0 6      a a Do đó 3 3 6 4 3 ) ( 2 3 4 5       x x x x x x P thì .4 )1(   P

Vậy .4 )1(   P

Câu 2.