Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chuyên) năm 2025 - 2026 sở GDĐT Thanh Hóa

CLB Toán Cơ Sở Phòng Nội Dung

3

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI CHUYÊN TOÁN TỈNH THANH HOÁ Năm học 2025 – 2026

Câu 1.

1) Ta có: )1 )( 1 ( 2 ) 1 )( 2 ( 1

2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2             b a ab b a ab b a

Suy ra

.0 ) )( 1 ( 0 ) 1( 2 )1 )( (

2 ) 2 (

)1 )( 1 ( 2 ) 1 )( 2 (

2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

         

     

     

b a ab b a

b a b a b a ab

b a ab b a

Do a,b là hai số thực khác nhau nên . 1 1 b a ab    Khi đó:

.1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1

2025

2025

2025

2025

2025 2025 2025              a a a a a b a M

2) Giả sử tồn tại bốn số nguyên a, b, c, d phân biệt sao cho

. 2025 ) ( ) ( ) ( ) (     d f c f b f a f

Do đó đa thức 2025 ) ( ) (   x f x Q nhận a, b, c, d là nghiệm.

Khi đó ). )( )( )( ( 2025 ) ( d x c x b x a x x f      

Giả sử tồn tại số nguyên t sao cho 2028 ) (  t P thì

) )( )( )( ( 2025 ) ( 3 d t c t b t a t t f       

Mà 3 có tất cả 4 ước nguyên khi đó do d t c t b t a t     , , , phân biệt nên tồn tại hai trong bốn số

đó chia hết cho 3. Khi đó ) )( )( )( (| 9 d t c t b t a t     .

Suy ra điều vô lý. Như vậy không tồn tại giá trị nguyên x sao cho f (x) bằng 2028.

Câu 2. Ta có: . ) 2 ( 0 2 ) 2 (

)1 )( ( 2 3 4 5

2 2 2 2

3 2 2



 

     

   

y x y x xy

y x y xy y x Từ (2) ta có: .0 ) 2 )( 1 ( 2 2     y x xy

Trường hợp 1: .1  xy Ta thấy y khác 0, khi đó (1) trở thành

.0 )1 ( 3 0 3 6 3

0 3 6 3 ) ( 2 3 4 5

2 2 3

3 3

      

       

y y y y y

x y y y x y y x

Suy ra .1 2  y Do đó .1

1 

   

 

y x

y x

Trường hợp 2: 2 2 2  y x . Từ (1) ta có:

.0 ) )( 2 ( 0 4 5 2

3 4 5 3 4 5 ) )( (

2 2 2 3 3

3 2 2 2 2 3 3 3 2 2 2 2

        

           

y x y x y x xy y x

y xy y x y x xy y x y xy y x y x y x

CLB Toán Cơ Sở Phòng Nội Dung

4

- Nếu y x  thì 1 2  x . Suy ra .1

1 

   

 

y x

y x

- Nếu y x 2  thì . 5 10 5 2 2     y y Suy ra .

5 10 , 5 10 2 5 10 , 5 10 2

   





   

 

y x

y x

Vậy hệ phương trình có các nghiệm là . 5 10 , 5 10 2 , 5 10 , 5 10 2 ), 1 ,1 ( ), 1,1(  

  

    

  

  

Câu 3.

Số các số có 4 chữ số được lập thành từ 1,2,3,4,5,6, tức là số phần tử tập M là . 6 6.6.6.6 4 

Biến cố: “Số chọn được là số chia hết cho 3”.

Giả sử số cần tìm là: . abcd Đặt c b a M    .

Ta chọn bộ số ) , , ( c b a có 3 6 6.6.6  cách.

Nếu ) 3 (mod 0  M thì chọn  . 6,3  d

Nếu ) 3 (mod 1  M thì chọn  . 5,2  d

Nếu ) 3 (mod 2  M thì chọn . 4,1  d

Như vậy khi ta chọn bộ số ) , , ( c b a bất kỳ thì chỉ có 2 cách chọn d nên số cách chọn bộ số

) , , , ( d c b a để abcd chia hết cho 3 là 3 6.2 .

Vậy xác suất để chọn được một số trong tập M và chia hết cho 3 là . 3 1 6

6.2

4

3 

Câu 4.

a. Ta có: 5 2 2 2 2 2 3 3      xy xy y x y x hay .5 2 ) )( 2 ( 2 2     xy y x y x

Suy ra .5 2 | 2 2 2   xy y x Ta thấy .0 5 2   xy

Nếu 0 5 2   xy thì .5 ) ( 5 2 2 2 2 2 2         y x x xy y x

Nếu 0 5 2   xy , khi đó xy y x 2 5 | 2 2 2   thì .5 ) ( 2 5 2 2 2 2 2        x y x xy y x

Suy ra  . 2,1,0,1 ,2 5 2      x x

Mặt khác .5 2 2 2 3 2 2 3       y xy xy y x x

Trường hợp 1: .0 ) 11 )( 1 ( 0 11 12 2 2 2 2 3             y y y y y y x

Vì 0 11 2   y y nên .1  y

Trường hợp 2: .0 ) 7 )( 3 ( 0 21 4 2 2 2 2 3            y y y y y y x

Vì 0 7 2   y y nên .3   y