Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chuyên) năm 2025 - 2026 sở GDĐT Hà Nội

CLB Toán Cơ Sở Phòng Nội Dung

Thầy Lê Văn Thế, Tạ Văn Phong, Nguyễn Hồng Tâm, Nguyễn Ngọc Tú, Lê Khánh Sỹ, Nguyễn Minh Thành, Đào Trọng Thuộc/CLB Toán Cơ Sở. Nguyễn Trần Hoàng-ĐHSP1 2

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI CHUYÊN TOÁN HÀ NỘI 2025 Câu I.

1) Số học sinh nam khối 6,7,8 tham gia là: 12 + 10 + 8 = 30.

Số học sinh nữ khối 6,7,8 tham gia là: 8 + 7 + 5 = 20.

Tổng số học sinh trước thi là: 30 + 20 = 50.

Tỉ lệ HS nữ so với tổng trước thi là . 5 2 50 20 

Gọi x là số HS nữ khối 9. Tổng số HS nữ sau khi khối 9 tham gia là 20 + x.

Tổng số HS đăng kí sau khi thi khối 9 bổ sung là 50 + 6 + x = 56 + x.

Ta có .4 0 ) 20 ( 5 ) 56 ( 2 5 2 56 20           x x x x x

Vậy có 4 HS nữ khối 9 đăng kí tham gia thi đấu.

2) Từ bc ab ca    , ta có ). ( 2 2 c b a b bc ab b ca b       

Tương tự thì ). ( ), ( 2 2 c b a a bc a c b a c ab c        

Như vậy .0 ) ( ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1   

            c b a abc ca bc ab c b a c c b a b c b a a P

Vậy .0  P

Câu II.

1) Từ bc a bc a    2 2 3 chia hết cho 4 suy ra bc a  2 chia hết cho 4.

Tương tự ab c ca b   2 2 , chia hết cho 4.

- Nếu a chẵn thì 4 2 a , kéo theo 4  bc . Như vậy b, c cùng chẵn hoặc một trong hai số b, c có số

chia hết cho 4. Khi đó abc chia hết cho 8.

- Nếu a lẻ thì 2 a chia cho 4 dư 1, suy ra bc chia cho 4 dư 3. Như vậy b, c cùng lẻ. Không mất

tính tổng quát, ta giả sử b, c chia cho 4 lần lượt dư 1, 3. (1)

Khi đó 2 2,c b chia cho 4 dư 1 suy ra ca ab, chia cho 4 dư 3. Do (1) nên từ ab chia cho 4 dư 3

thì a chia cho 4 dư 3, mà lại từ ac chia cho 4 dư 3 thì a chia cho 4 dư 1. Do đó dẫn tới mâu

thuẫn.

Vậy abc chia hết cho 8.

2) Đặt x y b y x a     , 2 . Ta có: . 8 ) ( ) 2 ( 8 7 15 b a x y y x y x       

Phương trình ban đầu trở thành: .7 ) 4 ( 2 7 8 2 2 2        b b a b a ab

Suy ra 7 | 4 2   b b , thì khi đó . 45 | 4 45 4 49 | 4 2 2 2 2        b b b b

CLB Toán Cơ Sở Phòng Nội Dung

Thầy Lê Văn Thế, Tạ Văn Phong, Nguyễn Hồng Tâm, Nguyễn Ngọc Tú, Lê Khánh Sỹ, Nguyễn Minh Thành, Đào Trọng Thuộc/CLB Toán Cơ Sở. Nguyễn Trần Hoàng-ĐHSP1 3

Ta thấy    . 49 , 19 , 13 ,9,7,5,3,1 45 , 15 ,9,5,3,1,1 ,3 4 2 2       b b

Mà 2 b là số chính phương nên  . 49 ,9,1 2  b

Trường hợp 1: . ) .( 3 4 ,1

1 ,1 1 1 2  





  

         L a b

a b b b Từ .3

2 1     

      y

x b a

Trường hợp 2: . 1 ,3

) ( 5 2 ,3 3 9 2  





 

        a b

L a b b b Từ .7

4

3

1

   

     



y

x

b

a

Trường hợp 3: . ) ( 45 7 , 7

0 , 7 7 49 2  





 

        L a b

a b b b Từ . 14

7

7

0

    

       



y

x

b

a

Thử lại ta thấy ) 14 , 7 ( ), 7, 4 ( ), 3 , 2 ( ) , (      y x đều thoả mãn phương trình.

Như vậy phương trình có các nghiệm là ). 14 , 7 ( ), 7,4 ( ), 3 ,2 (    

Câu III.

1)

a) Ta giả thiết ta có 16 2 2 2 2 2 2       a c c b b a ca bc ab . Khi đó

. 16 ) )( )( (

16 ) )( (

16 ) )( ( ) ( ) (

2

2

    

      

       

a c c b b a

cb ca c ab b a

b a b a c b a c b a ab

b) Ta có . 16 ) )( )( (     a c c b b a Không mất tính tổng quát, giả sử  . , , min c b a a 

Đặt . 0 ,          y x a c b c y a b x Khi đó 16 ) (  y x xy , thì . 0  xy

Ta có: .4 4

) ( ) .( 4

) ( ) ( 16

3 2           y x y x y x y x y x xy

Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 3 3 a c c b b a c b a c b a P            

Suy ra . 24 ) ( 2 3 ) ( ) ( ) ( ) ( 3 2 2 2 2 2 2 2              y x y x y x a c c b b a P

Do đó .8  P

Vậy GTNN của P là 8 và dấu bằng xảy ra chẳng hạn khi . 2 , 0 , 2     c b a

2) Giả sử t z n y x m   , trong đó x, y, z, t nguyên dương và . 1 ) , ( ) , (   t z y x

Từ ). )( (| | t z y x yt xz yz xt yt yt zx yz xt mn n m                (1)

Từ ). )( (| | 1 1 1 t z y x xz yt xt yz xz xz

yt xt yz mn n m                (2)