Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chuyên) năm 2025 - 2026 sở GDĐT Thái Bình

LỚP 10 TOÁN 2 K24-27 CHUYÊN THÁI BÌNH

LỜI GIẢI ĐỀTHI VÀO 10 25-26

Câu 1. (2,0 điểm)

1) Cho biểu thức A = x −3√x

x + 3√x + x + 5√x + 12 √x + 3 (điều kiện x > 0). Tìm x đểA = 2x.

2) Cho a, b là các sốthực thỏa mãn a ≥2025, b ≥2025 và 2025(a + b) = ab. Tính giá trị

của biểu thức P = √a −2025 + √

b −2025 −1

45

√

ab.

Lời Giải

1) A = x −3√x

x + 3√x + x + 5√x + 12 √x + 3 ĐK: x > 0

Rút gọn ta được: A = √x + 3.

ĐểA = 2x thì √x + 3 = 2x

⇔√x = 2x −3

⇔

 

 x ≥3

2 4x2 −13x + 9 = 0

⇔x = 9

4

Vậy x = 9

4 là giá trịcần tìm

2) Có √a −2025 =

r

a − ab a + b =

r

a2

a + b = a √

a + b

Với 2025(a + b) = ab; a, b ≥2025

Tương tự √

b −2025 = b √

a + b 1 45

√

ab = 1

45

p

2025(a + b) = √

a + b

Suy ra được P = 0

1

LỚP 10 TOÁN 2 K24-27 CHUYÊN THÁI BÌNH

Câu 2. (2,0 điểm)

1) Giải hệphương trình:

( x2 + x + y = xy + 2 2x + √3y −8 + √y + 1 = 5

2) Một sân trường hình chữnhật ABCD (hình minh họa bên). Nhà trường muốn thiết kế hai nhà vệsinh dành cho giáo viên và học sinh ởhai vịtrí E và B sao cho AE = 40m, DE = 10m, AB = 80m. Trên cạnh CD người ta muốn chọn một vịtrí F đểkhoan giếng cấp nước cho hai nhà vệsinh. Hỏi tổng đoạn đường ống nước ngắn nhất từgiếng khoan đến hai nhà vệsinh là bao nhiêu mét?

Lời Giải

1)

( x2 + x + y = xy + 2 (1) 2x + √3y −8 + √y + 1 = 5 (2)

(1) ⇔(x2 −1) + (x −xy) + (y −1) = 0 ⇔(x −1)(x + 1) −x(y −1) + (y −1) = 0

⇔(x −1)(x −y + 2) = 0

⇔x = 1 hoặc x = y −2

• Nếu x = 1 thay vào (2) ta có √3y −8 + √y + 1 = 3

⇔(√3y −8 −1) + (√y + 1 −2) = 0

⇔(y −3) 3 √3y −8 + 1 + 1 √y + 1 + 2

= 0

⇔y = 3 hoặc 3 √3y −8 + 1 + 1 √y + 1 + 2=0 ( loại vì luôn >0 ∀y ≥8

3)

• Nếu x = y −2 ta có √3y −8 + √y + 1 = 5 −2x = 9 −2y

Đăt √3y −8 = a, √y + 1 = b ⇒b2 −a2 = 9 −2y (a, b ≥0)

⇒a + b = b2 −a2

⇔a + b = (b + a)(b −a)

⇔a + b = 0 hoặc b −a = 1

⋆Nếu a + b = 0 mà a, b ≥0 ⇒

( a = 0 b = 0

Dẫn đến loại vì xảy ra đồng thời 2 giá trịcủa y khác nhau

⋆Nếu b −a = 1 ⇔√y + 1 = √3y −8 + 1

⇔y + 1 = 3y −7 + 2√3y −8

⇔8 −2y = 2√3y −8

⇔4 −y = √3y −8

2

LỚP 10 TOÁN 2 K24-27 CHUYÊN THÁI BÌNH

⇔

( y ≤4 3y −8 = y2 −8y + 16 ⇔

( y ≤4 y2 −11y + 24 = 0 ⇔y = 3

suy ra x = 1

Thửlại ta thấy thỏa mãn

Vậy hệphương trình có nghiệm duy nhất (x, y) = (1, 3)

b)

Lấy G ∈đường thẳng AD sao cho GD = 10

⇒GD = DE

mà FD ⊥GE ⇒△FEG cân tại F

⇒FE = FG

Lại có EF + FB = GF + FB ≥GB

Dấu bằng xảy ra khi và chỉkhi ⇔G, F, B thẳng hàng

⇒EF + FBmin = GBmin = √

AG2 + AB2 = √

602 + 802 = √3600 + 6400 = 100

3

LỚP 10 TOÁN 2 K24-27 CHUYÊN THÁI BÌNH

Câu 3. (3,0 điểm) 1) Cho tam giác ABC nhọn, không cân (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Kẻcác đường cao AD, BE, CF (D, E, F là chân các đường cao) cắt nhau tại điểm H. Đường thẳng EF cắt đường tròn (O) tại P, Q (F nằm giữa P và E), đường thẳng EF cắt BC tại điểm M.

a)Chứng minh: MP.MQ = ME.MF. b)Gọi N là điểm đối xứng của O qua đường thẳng BC. Chứng minh: N là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC. c)Đường thẳng đi qua H, song song với AB và cắt AC tại điểm X. Đường thẳng đi qua H, song song với AC và cắt AB tại điểm Y . Chứng minh: Đường trung trực của đoạn thẳng XY đi qua điểm O.

2) Một logo như hình vẽbên .Phần tô đậm là giao của các cặp hình tròn ngoại tiếp các tam giác △ABG, △ACG, △BCG .tính diện tích phần tô đậm ( theo đơn vịcm2) , biết rằng tam giác ABC đều có cạnh bằng 20cm , G là trọng tâm của tam giác ABC

a) . Ta có tứgiác BCFE nội tiếp. Do đó, ∠MFB = ∠ECM

Tức là △MFB ∼△MCE.

nên suy ra MF

MC = MB

ME hay ta có MB · MC = MF · ME.

Lại có từtứgiác BCQP nội tiếp, do đó △MPB ∼△MCQ . Do đó MB

MQ = MP

MC có MB · MC = MP · MQ.

Từđây ta có điều phải chứng minh.

4