Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chuyên) năm 2025 - 2026 sở GDĐT Đồng Nai

LỜI GIẢI THAM KHẢO VÀ BÌNH LUẬN ĐỀTHI TUYỂN SINH LỚP 10 TỈNH ĐỒNG NAI

Năm học: 2025 - 2026

Môn thi: TOÁN CHUYÊN

Thời gian làm bài: 150 phút, không kểthời gian phát đề

Đậu Văn Huy Hoàng∗, Nguyễn Thái Hưng † , Trần ThịThu Nga ‡

Ngày 30 tháng 5 năm 2025

Bài 1 (2 điểm).

1) Rút gọn biểu thức P = Å x + 5 x + √x −2 − 2 √x −1

ã : 1 √x + 2 (với x ≥0, x ̸= 1).

2) Tìm tất cảcác giá trịcủa tham sốm đểphương trình x2 −2x + 3m + 1 = 0 có hai nghiệm

phân biệt x1, x2 thỏa mãn x3 1 + x3 2 = 20.

Lời giải.

1) Ta có

P = Å x + 5 x + √x −2 − 2 √x −1

ã : 1 √x + 2

= ï x + 5 (√x −1) (√x + 2) − 2 √x −1

ò · √x + 2

= x + 5 −2 (√x + 2)

(√x −1) (√x + 2) · √x + 2

= x −2√x + 1 √x −1

= (√x −1) 2 √x −1

= √x −1.

∗Giáo viên tại trường Phổthông Năng khiếu ĐHQG-HCM †GV tại Trung tâm Star Education - TPHCM ‡Giáo viên tại THCS Tân Phong - Biên Hòa - Đồng Nai

1

2) Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉkhi ∆′ = 1 −3m −1 = −3m > 0 hay m < 0.

Theo định lý Viete, ta có  

 x1 + x2 = 2

x1x2 = 3m + 1 .

Khi đó

x3 1 + x3 2 = (x1 + x2)3 −3x1x2(x1 + x2) = 23 −3 · (3m + 1) · 2 = 8 −18m −6 = 2 −18m.

Vì vậy

x3 1 + x3 2 = 20

2 −18m = 20

m = −1 (Thỏa mãn m < 0).

Vậy m = −1.

Nhận xét: Đây là một câu hỏi dễnhằm giúp học sinh đạt được mức điểm trên liệt, chỉđòi hỏi kĩ năng

cơ bản vềbiến đổi biểu thức chứa căn và áp dụng định lý Viete.

Bài 2 (2,0 điểm).

1) Giải hệphương trình

 

 xy + y2 −2x −2y = 0

x2 + 2xy −3 = √x + y + 1 .

2) Cho P(x) là đa thức bậc ba thỏa mãn (x + 2)P(x + 1) = (x −1)P(x + 2), với mọi sốthực x

và P(3) = 6. Chứng tỏP(2) = 0 và xác định đa thức P(x).

Lời giải.

1) Biến đổi phương trình đầu, ta được

y(x + y) −2(x + y) = 0

(x + y)(y −2) = 0

x = −y hoặc y = 2.

• Nếu x = −y, thay vào phương trình thứhai, ta được

−y2 −3 = 1 hay y2 + 4 = 0.

Phương trình trên vô nghiệm vì y2 + 4 > 0 với mọi y.

2

• Nếu y = 2, thay vào phương trình thứhai, ta được

x2 + 4x −3 = √

x + 3

x2 + 4x −5 + 2 − √

x + 3 = 0

(x −1)(x + 5) + 4 −(x + 3)

2 + √x + 3 = 0

(x −1)(x + 5) − x −1 2 + √x + 3 = 0

(x −1) Å x + 5 − 1 2 + √x + 3

ã = 0. (1)

Từđiều kiện x ≥−3, ta suy ra

x + 5 − 1 2 + √x + 3 ≥−3 + 5 −1

2 = 3

2 > 0.

Vì vậy, từ(1), ta thu được x = 1.

Thửlại ta thấy (x; y) = (1; 2) thỏa mãn hệphương trình ban đầu. Vậy hệphương trình có duy

nhất nghiệm (x; y) = (1; 2).

2) Thay x = 1 vào

(x + 2)P(x + 1) = (x −1)P(x + 2), (2)

ta được 3P(2) = 0 · P(3) = 0, kéo theo P(2) = 0. Thay x = −2 vào (2), ta được

0 · P(−1) = −3 · P(0),

dẫn đến P(0) = 0. Thay x = −1 vào (2), ta được

P(0) = −2 · P(1).

Hơn nữa P(0) = 0 nên P(1) = 0. Như vậy P(x) có 3 nghiệm x ∈{0; 1; 2}, mà P(x) là đa thức bậc

ba nên P(x) có dạng

P(x) = ax(x −1)(x −2), a ̸= 0. (3)

Thay x = 3 vào (3) và kết hợp với P(3) = 6, ta được 6 = 6a hay a = 1. Thửlại và ta nhận

P(x) = x(x −1)(x −2) = x3 −3x2 + 2x.

Nhận xét: Đây là một câu gồm 2 ý là hệphương trình và đa thức. Nhìn chung đây là một câu khó,

mang tính phân loại tốt.

• Ởý 1), học sinh cần phát hiện được việc phân tích thành nhân tửởvếtrái của phương trình đầu

tiên. Từđó có thểtìm được x = −y và y = 2. Trường hợp y = 2 khó nhất, nhân lượng liên hợp là

một hướng xửlí phù hợp, tuy nhiên học sinh sẽgặp khó khăn khi giải quyết phương trình

x + 5 − 1 2 + √x + 3 = 0.

Mấu chốt đểxửlí đó chính là sửdụng điều kiện x ≥−3 đểchứng tỏvếtrái lớn hơn 0, dẫn đến

phương trình vô nghiệm.

3