Chuyên đề Toán 12 học kì 2 theo chương trình mới - Ngô Đức Tài

NGÔ ĐỨC TÀI Zalo: 0889 971 004

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π π

π

π

π π

π

π

TOÁN

THEO CHƯƠNG TRÌNH MỚI

( Dùng chung cho cả4 bộsách ) 12

TẬP 2

ĐỒNG THÁP - THÁNG 10 2025

A D

O

B C

M P E

N F Q

x

y

O

y = loga x

y = ax

1 ∠ Biên soạn: Ngô Đức Tài - H 0889 971 004

MỤC LỤC

Chương

IV.

Nguyên hàm. Tích phân 2

Chuyên đề1. Nguyên hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Chuyên đề2. Tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Chuyên đề3. Ứng dụng hình học của tích phân . . . . . . . . . . . . . . 48

Chuyên đề4. Ôn tập chương 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

Chương

V.

Phương pháp tọa độtrong không gian 127

Chuyên đề1. Phương trình mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

Chuyên đề2. Phương trình đường thẳng trong không gian . . . . . 150

Chuyên đề3. Phương trình mặt cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

Chuyên đề4. Ôn tập chương 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

Chương

VI.

Xác suất có điều kiện 231

Chuyên đề1. Xác suất có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

Chuyên đề2. Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes. 245

Chuyên đề3. Ôn tập chương 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

2 ∠ Biên soạn: Ngô Đức Tài - H 0889 971 004

4 Chương

NGUYÊN HÀM. TÍCH PHÂN

Mục lục của chương

Chuyên đề1. Nguyên hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Chuyên đề2. Tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24

Chuyên đề3. Ứng dụng hình học của tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Chuyên đề4. Ôn tập chương 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3 ∠ Biên soạn: Ngô Đức Tài - H 0889 971 004

1

C

h

u

y

ê

n

đ

ề

NGUYÊN HÀM

I. KHÁI NIỆM NGUYÊN HÀM

Cho hàm sốf(x) xác định trên khoảng K. Hàm sốF(x) được gọi là nguyên

hàm của hàm sốf(x) trên K nếu F ′(x) = f(x) với mọi x thuộc K.

K Ví dụ1 K Ví dụ1 ⋆⋆⋆⋆⋆

Chứng minh:

a) Hàm sốF(x) = x4 là một nguyên hàm của hàm sốf(x) = 4x3 trên R ;

b) Hàm sốF(x) = tan x là một nguyên hàm của hàm sốf(x) = 1 cos2 x trên khoảng −π

2 ; π

2

.

b

Lời giải.

a) Hàm sốF(x) = x4 là một nguyên hàm của hàm sốf(x) = 4x3 trên R vì (x4)′ = 4x3

với mọi x ∈R, nghĩa là F ′(x) = f(x) với mọi x ∈R.

b) Hàm sốF(x) = tan x là một nguyên hàm của hàm sốf(x) = 1 cos2 x trên khoảng −π

2 , π

2

vì (tan x)′ = 1 cos2 x với mọi x ∈ −π

2 , π

2

nghĩa là F ′(x) = f(x) với mọi

x ∈ −π

2 , π

2

.

L 1 Chứng minh rằng hàm sốF(x) = x + cos x là một nguyên hàm của hàm số

f(x) = 1 −sin x trên R.

Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm sốf(x) trên K. Khi đó

Với mỗi hằng sốC, hàm sốF(x)+C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên

K.

Nếu G(x) là một nguyên hàm của hàm sốf(x) trên K thì tồn tại hằng số

C sao cho G(x) = F(x) + C với mọi x ∈K.

Như vậy, mọi nguyên hàm của hàm sốf(x) trên K đều có dạng F(x) + C,

với C là hằng số. Ta gọi F(x) + C, C ∈R là họtất cảcác nguyên hàm của

f(x) trên K, kí hiệu Z f(x)dx và Z f(x)dx = F(x) + C.