Giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp phục hình và trải phẳng

Biên soạn: CeT | Trang 1

CHUYÊN ĐỀ PHỤC HÌNH VÀ TRẢI PHẲNG

A. Lý Thuyết

Định nghĩa: Trải phẳng là mở một hình 3 chiều (3 ) D và trải tất cả các bề mặt của nó ra một mặt phẳng 2 chiều (2 ) D duy nhất. Hình 2D thu được gọi là hình trải phẳng. Hình này có thể được gấp lại theo các nếp (cạnh) để tái tạo chính xác hình 3D ban đầu. Phục hình là ngược lại của trải phẳng

Ứng dụng trong giải toán:

• Tính Diện tích Xung quanh và Toàn phần • Tìm Đường đi Ngắn nhất trên Bề mặt (bài toán hay gặp) • …………………………………………………………..

Tính đúng đắn của phương pháp này vì khi trải phẳng các kích thước được bảo toàn

(Trong từng mặt phẳng của đa diện, lật quanh cạnh chỉ là phép quay → mọi đoạn trên mặt đó giữ nguyên độ dài. Tổng chiều dài của một đường đi qua nhiều mặt không đổi khi trải.)

B. Bài Tập

Câu 1 [HSG Hà Tĩnh] Phần trên của một cây thông Noel có dạng hình nón, đỉnh S , độ dài đường sinh 2 l m = và bán kính đáy 1 r m = . Biết rằng AB là một đường kính đáy của hình nón và I là trung điểm đoạn thẳng SB (tham khảo hình vẽ). Để trang trí, người ta lắp một dây bóng nháy trên mặt ngoài của cây thông từ vị trí A đến I . Tính độ dài ngắn nhất của dây bóng nháy.

Solution: CeT

Khi lắp dây bóng từ A đến I trên mặt nón sẽ có hai hướng, do tính đối xứng nên ta chỉ xét một hướng. Trải một nửa mặt nón lên mặt phẳng ta được một hình quạt (như hình vẽ). Độ dài ngắn nhất của dây bóng nhảy bằng AI . Cung AB là nửa đường tròn đáy nên ( ) AB l m  = .

Số đo góc ASB : 1 2

AB AB l l

SA

 = = = 2 2 5( ) AI SA SI m  = + =

Biên soạn: CeT | Trang 2

Câu 2 [DVD] Trong không gian Oxyz , trên mặt đất trùng với mặt phẳng ( ), Oxy một con

gián muốn di chuyển từ điểm ( ) 3; 3; 0 A − trên mặt đất về với tổ của mình ở tọa độ điểm

( ) 3; 3; 0 B − . Để trở về tổ, con gián phải bò qua một bước tường có dạng hình hộp chữ nhật dọc

theo trục Oy như hình vẽ, biết bức tường có độ cao bằng ( ) ( ) 4 , 0 4 m z   và độ dày bằng

( ) 2 m ( ) 1 1 x −  . Con gián có khả năng bám dính và di chuyển dễ dàng trên bức tường thẳng

đứng. Xác định quãng đường ngắn nhất mà con gián có thể đi để trở về được tổ (làm tròn đến chữ số hàng chục).

Solution: CeT

Trải phẳng: Ta thấy điểm A và B đều tịnh tiến thêm 4 đơn vị

( ) ( ) ’ 7; 3; 0 , ’ 7; 3; 0 A B −

2 2 ’ ’ 14 6 2 58 Min A B  = = + =

Câu 3 [TDM 42] Cho một hình lăng trụ tam giác đều . ABC A B C  có độ dài cạnh đáy bằng 6 và cạnh bên bằng 24 . Dùng một sợi dây có chiều dài L quấn quanh hình lăng trụ từ điểm A đến điểm B như hình vẽ, sao cho sợi dây luôn áp sát vào các mặt. Hãy xác định chiều dài ngắn nhất của sợi dây ?

Biên soạn: CeT | Trang 3

Solution: CeT

Trải phẳng như hình:

Câu 4 [HXN] Một người muốn nối một dây đèn nhiều màu sắc từ vị trí A đến vị trí B trên vật trang trí có dạng hình nón với bán kính đáy bằng 2 dm và chiều cao bằng 6 dm. Thiết diện qua trục hình nón là tam giác chứa các cạnh SA, SB ( S là đỉnh hình nón); dây điện được kéo từ A đến một vị trí M thuộc đường sinh

SB , sau đó qua N thuộc đường sinh SA trước khi đến B . Biết rằng 2 SB = dm. Tìm đoạn dây điện bé nhất được dùng cho việc này(tính theo dm và làm tròn đến hàng phần chục).

Solution: CeT

Ta có: 3 3 chu vi .2 .2 6 2 2 AC l   =  = =

Mà 6 .

2 10

AC AC

l l R R

   =  = =

2 2 min 2 . .cos AB SA SB SA SB   = + −

( )

2 2 2 10 2 2.2.2 10.cos 8,3 (dm)  = + − 

Dễ tính được: ( )

2 2 min 15 24 3 3 L = + +