Chuyên đề hệ thức lượng trong tam giác vuông Toán 9 KNTTVCS

BÀI 11. TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC GÓC NHỌN

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM

1. KHÁI NIỆM TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC NHỌN

Khái niệm sin, côsin, tang, côtang của góc nhọn α

Nhận xét. Trong Hình 4.4 , các tam giác vuông có cùng một góc nhọn α là đồng dạng với nhau. Vì vậy các tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền (cạnh kề và cạnh huyền), cạnh đối và cạnh kề (cạnh kề và cạnh đối) của góc nhọn α là như nhau, cho dù độ dài các cạnh đối (các cạnh kề) của góc α và các cạnh huyền có thể khác nhau với từng tam giác.

Cho góc nhọn α . Xét tam giác ABC vuông tại A có góc nhọn B bằng α . (H.4.5). Ta có:

- Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền gọi là sin của α , kí hiệu sinα .

- Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh huyền gọi là côsin của α , kí hiệu cosα .

- Tỉ số giửa cạnh đối và cạnh kề của góc α gọi là tang của α , kí hiệu tan α .

- Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối của góc α gọi là côtang của α , kí hiệu cotα .

Chú ý. Ta có:

• α α = = cạnh đối cạnh kề sin ;cos ; cạnh huyền cạnh huyền

α α = = cạnh đối cạnh kề tan ;cot cạnh kề cạnh đối ;

1 cot tan α α =

. • sin ,cos ,tan ,cot α α α α gọi là các tỉ số lượng giác của góc nhọn α .

Chú ý:

sin, côsin của góc nhọn luôn dương và bé hơn 1 vì trong tam giác vuông, cạnh huyền dài nhất

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC vuông tại A , có 3 cm, 4 cm(H.4.6) AB AC = = . Hãy tính các tỉ số lượng

giác sin ,cos ,tan α α α với ˆB α = .

Chú ý: sinα còn được viết là ˆ sin B hay sin B . Tương tự cho cos ,tan α α và cotα .

Giá trị lượng giác sin, côsin, tang, côtang của các góc 30 ,45 ,60 ° ° °

Ta có bảng sau:

α 30 45 60

sinα 1 2 2 2 3 2

cosα 3 2 2 2

1 2

tanα 3 3

1 3

cotα 3 1 3 . 3

Ví dụ 2. Cho tam giác ABC vuông tại A có ˆ 30 C ° = và BC a = (H.4.8). Tính các cạnh , AB AC theo a .

2. TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA HAI GÓC PHỤ NHAU

a) Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau

Định lí: Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia.

Chú ý. Cho α và β là hai góc phụ nhau (H.4.9), khi đó

sin cos ,cos sin ,tan cot ,cot tan . α β α β α β α β = = = =

- Vẽ số đo, hai góc phụ nhau có thể coi là hai góc nhọn của một tam giác vuông.

Ví dụ 3. Hãy viết các tỉ số lượng giác sau thành tỉ số lượng giác của góc nhỏ hơn 45° :

sin 60 ,cos75 ,sin52 30 ,tan80 ,cot82 . ° ° ° ′ ° °

3. SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY TÍNH TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC NHỌN

Chú ý: Về số đo góc, dưới đơn vị độ ( ) 0 còn có các đơn vị phút (") và giây (") với 1 60 ,1 60 ° ′ ′ ′′ = = .

Ví dụ 4. 1 60 ,1 60 ° ′ ′ ′′ = = . Dùng MTCT, tính sin 27 ,cos32 15 ,tan52 12 ° ° ° ′ ′ và cot35 23 ° ′ (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba).

Lưu ý: 1 cot35 23 tan35 23

° ° ′ = ′ .

Nhận xét. Để tính cot 35 23 ° ′ , ta có thể tính trực tiếp như trên, hoặc có thể tìm góc phụ với góc 35 23 ° ′ là 54 37 ° ′ rồi dùng MTCT tính tan 54 37 ° ′ và suy ra kết quả.

Ví dụ 5. Dùng MTCT, tìm các góc (làm tròn đến phút) biết 1 2 sin 0,3214,cos 0,4321 α α = = ,

3 tan 1,2742 α = và 4 cot 1,5384 α = .

Chú ý. Để tìm góc α khi biết cot α , ta có thể tìm góc ( ) 90 α ° − ( ) ( ) tan 90 cot vì α α ° − = rồi suy

ra α .

B. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA

4.1. Cho tam giác ABC vuông tại A . Tính các tỉ số lượng giác sin, côsin, tang, côtang của các góc nhọn B và C khi biết:

a) 8 cm, 17 cm AB BC = = ;

b) 0,9 cm, 1,2 cm AC AB = = .

4.2. Cho tam giác vuông có một góc nhọn 60° và cạnh kể với góc 60° bằng 3 cm . Hãy tính cạnh đối của góc này.

4.3. Cho tam giác vuông có một góc nhọn bằng 30° và cạnh đối với góc này bằng 5 cm . Tính độ dài cạnh huyền của tam giác.

4.4. Cho hình chữ nhật có chiều dài và chiều rộng lần lượt là 3 và 3 . Tính góc giữa đường chéo và cạnh ngắn hơn của hình chữ nhật (sử dụng bảng giá trị lượng giác trang 69).

4.5. a) Viết các tỉ số lượng giác sau thành tỉ số lượng giác của các góc nhỏ hơn 45° :

sin55 ,cos62 ,tan57 ,cot 64 ° ° ° ° .

b) Tính tan 25 ,tan34 cot56 cot 65

° ° ° ° − .

4.6. Dùng MTCT , tính (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba):

a) sin 40 12 ; ° ′ b) cos52 54 ° ′;