Biến đổi để tìm cực trị dạng phân thức, áp dụng vào phương trình bậc hai có tham số

Chuyên đề nâng cao ôn tập thi tuyển 10 trang 1 GV: Lương Công Hiển – ĐT : 0984 130 757

CHUYÊN ĐỀ :

PHƯƠNG PHÁP- KỸ THUẬT BIẾN ĐỔI ĐỂ TÌM CỰC TRỊ DẠNG PHÂN THỨC

ÁP DỤNG VÀO PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI CÓ THAM SỐ

Chuyên đề này hướng dẫn các em các kỹ thuật tách tử thức theo mẫu thức để tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN).

Ví dụ 1: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức 𝐾=

2𝑥2−4𝑥+5

𝑥2+1

PHÂN TÍCH CÁCH NGHĨ VÀ TÌM LỜI GIẢI

Bước 1: Tách phần nguyên. Lấy tử chia mẫu: 𝐾= 2 +

3−4𝑥

𝑥2+1.

Bước 2: Tìm miền giá trị của phần dư. Đặt 𝑎=

3−4𝑥

𝑥2+1.

Biến đổi đưa về phương trình bậc hai ẩn 𝑥: 𝑎𝑥2 + 4𝑥+ 𝑎−3 = 0.

Bước 3: Giải điều kiện có nghiệm. Để phương trình có nghiệm thì Δ′ ≥0. Giải Δ′ = 16 −4𝑎2 + 12𝑎= 0 ta được 𝑎= −1 hoặc 𝑎= 4.

Bước 4: Dự đoán và hình thành kỹ thuật biến đổi:

Dự đoán:Khi 𝑎= −1, thay vào 𝐾 ta có 𝐾= 2 + (−1) = 1.

Dự đoán GTNN bằng 1.

Khi 𝑎= 4, thay vào 𝐾 ta có 𝐾= 2 + 4 = 6.

Dự đoán GTLN bằng 6.Kỹ thuật biến đổi:

Để tìm GTNN = 1: Ta biến đổi Tử thức = 1 ⋅ Mẫu thức + (biểu thức bình phương).

Để tìm GTLN = 6: Ta biến đổi Tử thức = 6 ⋅ Mẫu thức - (biểu thức bình phương).

TRÌNH BÀY BÀI GIẢI CHI TIẾT

Ta có mẫu thức 𝑥2 + 1 > 0 với mọi 𝑥.Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN):

𝐾= 2𝑥2 −4𝑥+ 5

𝑥2 + 1 = (𝑥2 + 1) + (𝑥2 −4𝑥+ 4)

𝑥2 + 1 = 1 + (𝑥−2)2

𝑥2 + 1 ≥1

Dấu “=” xảy ra khi 𝑥−2 = 0 ⇔𝑥= 2.Tìm giá trị lớn nhất (GTLN):

𝐾= 2𝑥2 −4𝑥+ 5

𝑥2 + 1 = 6(𝑥2 + 1) −(4𝑥2 + 4𝑥+ 1)

𝑥2 + 1 = 6 −(2𝑥+ 1)2

𝑥2 + 1 ≤6

Dấu “=” xảy ra khi 2𝑥+ 1 = 0 ⇔𝑥= −0,5.

Kết luận: GTNN của 𝐾 là 1 khi 𝑥= 2; GTLN của 𝐾 là 6 khi 𝑥= −0,5.

Ví dụ 2: Tìm GTNN của biểu thức 𝐸=

3𝑥2−8𝑥+6

𝑥2−2𝑥+1

Chuyên đề nâng cao ôn tập thi tuyển 10 trang 2 GV: Lương Công Hiển – ĐT : 0984 130 757

PHÂN TÍCH CÁCH NGHĨ VÀ TÌM LỜI GIẢI

Bước 1: Nhận diện mẫu thức. Mẫu thức có dạng bình phương một hiệu: 𝑥2 −2𝑥+ 1 = (𝑥−1)2.

Bước 2: Phương pháp đổi biến. Đặt 𝑥−1 = 𝑡⇒𝑥= 𝑡+ 1. Khi đó tử thức trở thành biểu thức theo 𝑡: 3(𝑡+ 1)2 −8(𝑡+ 1) + 6.

Bước 3: Rút gọn và đưa về tam thức bậc hai. Biểu thức 𝐸 lúc này có dạng 𝐸= 3 −

2

𝑡+

1

𝑡2.

Bước 4: Hình thành kỹ thuật biến đổi. Đặt 𝑎=

1

𝑡, ta có 𝐸= 𝑎2 −2𝑎+ 3. Biến đổi về dạng bình phương cộng một số để tìm GTNN.

TRÌNH BÀY BÀI GIẢI CHI TIẾT

Điều kiện: 𝑥≠1. Đặt 𝑥−1 = 𝑡⇒𝑥= 𝑡+ 1.Biến đổi biểu thức 𝐸:

𝐸= 3(𝑡+ 1)2 −8(𝑡+ 1) + 6

𝑡2 = 3𝑡2 + 6𝑡+ 3 −8𝑡−8 + 6

𝑡2 = 3𝑡2 −2𝑡+ 1

𝑡2 𝐸= 3 −2

𝑡+ 1

𝑡2

= ( 1

𝑡2 −2

𝑡+ 1) + 2 = (1

𝑡−1)

2

+ 2

Vì (

1

𝑡−1)

2

≥0 nên 𝐸≥2.Dấu “=” xảy ra khi

1

𝑡−1 = 0 ⇔𝑡= 1 ⇔𝑥−1 = 1 ⇔𝑥= 2.

Kết luận: GTNN của 𝐸 là 2 khi 𝑥= 2.

Ví dụ 3: Cho 𝑥> −1. Tìm GTNN của 𝐴= 4𝑥+

25

𝑥+1

PHÂN TÍCH CÁCH NGHĨ VÀ TÌM LỜI GIẢI

Bước 1: Nhận diện dấu hiệu. Biểu thức có 𝑥 ở tử và 𝑥+ 1 ở mẫu. Đây là dạng toán điển hình dùng bất đẳng thức Cô-si (AM-GM).

Bước 2: Kỹ thuật cân bằng số hạng. Để áp dụng được Cô-si sao cho triệt tiêu được biến 𝑥, số hạng chứa 𝑥 phải có dạng (𝑥+ 1) giống mẫu thức.

Bước 3: Biến đổi. Ta thêm và bớt hằng số: 4𝑥= 4(𝑥+ 1) −4.

Bước 4: Kiểm tra điều kiện. Với 𝑥> −1 thì cả 𝑥+ 1 và

25

𝑥+1 đều dương, đủ điều kiện dùng BĐT Cô- si.

TRÌNH BÀY BÀI GIẢI CHI TIẾT

Với 𝑥> −1, ta có 𝑥+ 1 > 0. Suy ra 4(𝑥+ 1) > 0 và

25

𝑥+1 > 0.Biến đổi biểu thức 𝐴:

𝐴= 4(𝑥+ 1) + 25 𝑥+ 1 −4

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương 4(𝑥+ 1) và

25

𝑥+1: