Chuyên đề quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác lớp 7 môn Toán

1

CHUYÊN ĐỀ 33: QUAN HỆ GIỮA BA CẠNH CỦA MỘT TAM GIÁC

PHẦN I. TÓM TẮT LÍ THUYẾT.

*) Định lí: Trong một tam giác, độ dài của một cạnh bất kì luôn nhỏ hơn tổng độ dài hai cạnh còn lại.

Ba hệ thức:

, , AB BC AC AC AB BC BC AC AB

 +  +  +

gọi là các bất đẳng thức tam giác.

- Tính chất: Trong một tam giác, độ dài của một cạnh bất kì luôn lớn hơn hiệu độ dài hai cạnh còn lại.

- Nhận xét: Nếu kí hiệu , , a b c là độ dài ba cạnh tùy ý của một tam giác thì: b c a b c −   + .

PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI.

Dạng 1. Khẳng định có tồn tại hay không một tam giác biết độ dài ba cạnh

I. Phương pháp giải:

+ Tồn tại một tam giác có độ dài ba cạnh là , , a b c nếu:

a b c b a c c a b

 +   +   + 

hoặc b c a b c −   + .

+ Trong trường hợp xác định được a là số lớn nhất trong ba số , , a b c thì điều kiện để tồn tại tam giác chỉ cần: a b c  + .

II. Bài toán.

Bài 1. Bộ ba độ dài nào dưới đây có thể tạo thành độ dài của ba cạnh trong tam giác?

a) 6cm; 8cm; 16cm

b) 5,5cm; 3,1cm; 2,4cm

c) 13,7cm; 8,2cm; 5,3cm

d) 8m; 12m; 7m

B

A

C

2

Lời giải:

a) Không vì 16 8 6 + b) Có vì 5,5 3,1 2,4  +

c) Không vì 13,7 8,2 5,3  + d) Có vì 12 7 8  +

Bài 2. Dựa vào bất đẳng thức tam giác, kiểm tra xem bộ ba đoạn thẳng có độ dài cho sau đây có thể tạo thành một tam giác hay không?

a) 3cm, 4cm, 6cm b) 2m, 4m, 8 m c) 1cm, 3cm, 4cm

Lời giải:

a) Ta có 6 3 4 + nên bộ ba đoạn thẳng này có thể là ba cạnh của một tam giác. b) Không vì 8 2 4  + . c) Không vì 4 1 3 = + .

Bài 3. Dựa vào bất đẳng thức tam giác, kiểm tra xem bộ ba đoạn thẳng có độ dài cho sau đây không thể là ba cạnh của một tam giác.

a) 3 cm, 3 cm, 7 cm . b) 6 m, 10 m, 8 m . c) 2 m, 6 m, 8 m .

Lời giải:

a) Không vì 7 3 3 + . b) Ta có 10 6 8  + nên bộ ba đoạn thẳng này có thể là ba canh của một tam giác. c) Không vì 8 6 2 = + .

Bài 4. Một tam giác cân có một cạnh bằng 6 cm. Tính hai cạnh còn lại, biết chu vi của tam giác đó bằng 20cm.

Lời giải:

Nếu cạnh đã cho ( ) 6cm là cạnh đáy thì hai cạnh còn lại là ( ) ( ) 20 6 : 2 7 cm − = , thỏa mãn bất

đẳng thức tam giác.

Nếu cạnh đã cho ( ) 6cm là cạnh bên thì hai cạnh còn lại là 6cm và ( ) 20 2.6 8 cm − = , thỏa mãn

bất đẳng thức tam giác.

Bài 5. Cho tam giác ABC có 1cm, =7cm. BC AC = Tìm độ dài cạnh AB biết độ dài này là một số nguyên (cm).

Lời giải:

Theo bất đẳng thức tam giác, trong ABC có: 6 8 AC BC AB AC BC AB −   +   

Do AB là số nguyên nên 7cm AB = .

Bài 6. Độ dài hai cạnh của một tam giác bằng 6 cm và 2 cm . Tính độ dài cạnh còn lại biết rằng số đo của cạnh đó theo cm là một số tự nhiên chẵn.

Lời giải:

Giả sử ABC  có 6 cm, 2 cm AB AC = = .

3

Theo bất đẳng thức tam giác, ta có AB AC BC AB AC −   + . Suy ra 4 8 BC  . Mà BC có độ dài theo cm là một số tự nhiên chẵn. Do đó, 6 cm BC = .

Bài 7. Cho tam giác ABC có 4 cm, 1 cm AB AC = = . Hãy tìm độ dài cạnh BC biết rằng độ dài này là một số nguyên (cm) .

Lời giải:

Ta có 4 cm, 1 cm AB AC = = .

Theo bất đẳng thức tam giác, ta có AB AC BC AB AC −   + . Suy ra 3 5 BC   . Mà BC có độ dài theo cm là một số nguyên. Do đó, 4 cm BC = .

Bài 8. Tính chu vi của tam giác cân có hai cạnh bằng 4 m và 8 m .

Lời giải:

Cách 1: Vì tam giác là tam giác cân nên sẽ có độ dại ba cạnh là

Th1 4 m; 4m; 8m trường hợp này không xảy ra vì 4 m + 4 m = 8 m

Th2 4 m; 8m; 8m trường hợp này xảy ra vì 4 m + 8 m > 8 m

Vậy chu vi tam giác là 20 m .

Cách 2:

Giả sử ABC  có 4 m, 8 m AB AC = = .

Theo bất đang thức tam giác, ta có | | AB AC BC AB AC −   + .

Do đó, 4 12 BC   . Mà ABC  cân nên suy ra 8 m BC = . Vậy chu vi tam giác ABC  là 20 m .

Bài 9. Tính chu vi của tam giác cân có hai cạnh bằng 3cm và 7cm .

Lời giải:

Giả sử ABC  có 3 cm, 7 cm AB AC = = .

Theo bất đẩng thức tam giác, ta có | | AB AC BC AB AC −   + . Do đó, 4 10 BC   . Mà ABC  cân nên suy ra 7 cm BC = . Vậy chu vi tam giác ABC là 17 cm .

Bài 10. Ba cạnh của một tam giác có độ dài bằng 1 2 , 16, 2 x (đơn vị cm). Tìm x , biết rằng x

là số tự nhiên và có giá trị nhỏ nhất có thể.

Lời …