Bài tập Tự luận Toán 11 - Đường thẳng và mặt phẳng song song (Có lời giải)

ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG

A. CHUẨN KIẾN THỨC

A.TÓM TẮT GIÁO KHOA.

1. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng.

Cho đường thẳng d và mặt phẳng  α , ta có ba vị trí tương đối giữa chúng là:

• d và  α cắt nhau tại điểm M , kí hiêu   M d α   hoặc để đơn giản ta kí hiệu  M d α   (h1)

• d song song với  α , kí hiệu  d α P hoặc  α d P ( h2)

• d nằm trong  α , kí hiệu  d α  (h3)

2. Các định lí và tính chất.

• Nếu đường thẳng d không nằm trong mặt phẳng  α và d song song với đường thẳng d' nằn trong  α

thì d song song với  α .

Vậy







d α

d d' d α

d' α

       

P P

• Cho đường thẳng d song song với mặt phẳng  α . Nếu mặt phẳng

 β đi qua d và cắt  α theo giao tuyến d' thì d' d P .

Vậy



  

d α

d β d' d

α β d'

        

P

P .

• Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng ( nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.

d

h2

α

d

h1

α M d

h3

α

d'

d

h3

α

d'

d β

α

DeThi.edu.vn

Vậy

   

α d

β d d' d

α β d'

       

P

P P .

• 4. Cho hai đường thẳng chéo nhau. Có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.

B. LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP.

Bài toán 01: CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG. Phương pháp:

Để chứng minh đường thẳng d songsong với mặt phẳng  α

ta chứng minh d song song với một đường thẳng d' nằm

trong  α .

Các ví dụ Ví dụ 1. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng có tâm lần lượt là

O và O' .

a) Chứng minh OO' song song với các mặt phẳng   ADF và   BCE .

d'

d

β

α

d

l

m

α

d'

d

h3

α

DeThi.edu.vn

b) Gọi M,N lần lượt là hai điểm trên các cạnh AE,BD sao cho 1 1 AM AE,BN BD 3 3   . Chứng minh MN

song song với   CDEF .

Lời giải.

a) Ta có OO' là đường trung bình của tam giác BDF ứng với

cạnh DF nên OO' DF P ,   DF ADF 

  OO' ADF  P .

Tương tự, OO' là đường trung bình của tam giác ACE ứng

với cạnh CE nên OO' CE P ,     CE CBE OO' BCE   P .

b) Trong   ABCD , gọi I AN CD  

Do AB CD P nên AN BN AN 1 AI BD AI 3    .

Lại có AM 1 AN AM AE 3 AI AE    MN IE  P . Mà     I CD IE CDEF MN CDEF     P .

Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình bình hành. Gọi G là trọng tâm tam giác SAB ,

I là trung điểm của AB và M là điểm trên cạnh AD sao cho 1 AM AD 3  .

a) Đường thẳng đi qua M và song song với AB cắt CI tại N . Chứng minh   NG SCD P .

b) Chứng minh   MG SCD P .

Lời giải.

a) Ta có IN BJ AM 1 IC BC AD 3    , IG 1 IS 3 

IN IG NG SC IC IS    P ,

mà   SC SCD 

  NG SCD  P .

b) Gọi E là giao điểm của IM và CD

Ta có IM AM 1 IM IG IE AD 3 IE IS    

I

O

O'

E

C

A B

D

F

M

N

N J

E

I

C

A B

D

S

M

G

DeThi.edu.vn

MG SE  P ,     SE SCD GM SCD   P .

Bài toán 02: DỰNG THIẾT DIỆN SONG SONG VỚI ĐƯỜNG THẲNG. Phương pháp:

Sử dụng định nghĩa và các tính chất hoặc biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến.

Trong phần này ta sẽ xét thiết diện của mặt phẳng  α đi qua một điểm song song với hai đường thẳng chéo

nhau hoặc  α chứa một đường thẳng và song song với một đường thẳng; để xác định thiết diện loại này ta sử

dụng tính chất:





 

 

α d

d β α β d' d,M d'

M α β

           

P

P

Các ví dụ

Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD , M và N là hai điểm thuộc cạnh AB và CD ,  α là mặt phẳng qua

MN và song song với SA .

a) Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi α .

b) Tìm điều kiện của MN để thiết diện là một hình thang.

Lời giải.

a) Ta có

   

 

M α SAB

α SA

SA SAB

      

P

   SAB α MQ SA,Q SB     P .

Trong   ABCD gọi I AC MN  

      I MN α

I α SAC I AC SAC

       

Vậy

   

    

I SAC α

α SA

SA SAC

SAC α IP SA,P SC

         

P

P

Từ đó ta có       α SBC PQ, α SAD NP     .

P

I

Q A

B C

D

S

M N

DeThi.edu.vn