Bài tập Đại số và Giải tích Lớp 11 Nhị thức Niutown

Bài toán: Ta kí hiệu [x] là số nguyên lớn nhất không vượt quá x, 𝑥 = 𝑥− 𝑥 .

Cho dãy số {𝑢𝑛} với 𝑢𝑛=

22𝑛+1+𝑛2+𝑛+2

2𝑛+1+2 . Có bao nhiêu số hạng của dãy số{𝑢𝑛}

thỏa mãn:

2526.2𝑛−99

2𝑛+1 ≤𝑢𝑛≤

23 65.

(Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du số 1,Bắc Ninh)

Lời giải

Ta có:

𝑢1 = 2 = 0

𝑢2 = 4 = 0. Suy ra 𝑢1 và 𝑢2 không thỏa mãn đề bài.

+Xét 𝑛≥3 ta có:

22𝑛+1+𝑛2+𝑛+2

2𝑛+1+2 =

22𝑛+1−2+𝑛2+𝑛+4

2𝑛+1+2 =

22𝑛+1−2

2𝑛+1+2 +

𝑛2+𝑛+4

2𝑛+1+2

= 2(22𝑛−1)

2(2𝑛+ 1) + 𝑛2 + 𝑛+ 4

2𝑛+1 + 2 = 2(2𝑛−1)(2𝑛+ 1)

2(2𝑛+ 1) + 𝑛2 + 𝑛+ 4

2(2𝑛+ 1)

= 2𝑛−1 + 𝑛2 + 𝑛+ 4

2(2𝑛+ 1)

Áp dụng Công thức nhị thức NiuTơn với 𝑛≥3 ta có:

2𝑛= (1 + 1)𝑛= 𝐶𝑛0 + 𝐶𝑛1 + 𝐶𝑛2 + 𝐶𝑛3+. . +𝐶𝑛𝑛= 1 + 𝑛+ 𝑛(𝑛−1)

2 + 𝐶𝑛3+. . +𝐶𝑛𝑛

= 𝑛2 + 𝑛+ 2

2 + 𝐶𝑛3+. . +𝐶𝑛𝑛> 𝑛2 + 𝑛+ 2

2

Suy ra 2𝑛+ 1 >

𝑛2+𝑛+2

2 + 1 =

𝑛2+𝑛+4

2

Suy ra 0 <

𝑛2+𝑛+4 2(2𝑛+1) < 1

Mà 2𝑛−1 là số nguyên. Do đó số nguyên lớn nhất không vượt quá 2𝑛−1 +

𝑛2+𝑛+4 2(2𝑛+1)

là 2𝑛−1

suy ra 𝑢𝑛=

22𝑛+1+𝑛2+𝑛+2

2𝑛+1+2 = 2𝑛−1 +

𝑛2+𝑛+4 2(2𝑛+1) −(2𝑛−1) =

𝑛2+𝑛+4 2(2𝑛+1)

suy ra 𝑢𝑛+1 =

(𝑛+1)2+(𝑛+1)+4

2(2𝑛+1+1) =

𝑛2+3𝑛+6 2(2.2𝑛+1)

Xét 𝑢𝑛−𝑢𝑛+1 =

𝑛2+𝑛+4 2(2𝑛+1) −

𝑛2+3𝑛+6 2(2.2𝑛+1) =

𝑛2+𝑛+4 2.2𝑛+1 − 𝑛2+3𝑛+6 (2𝑛+1)

2(2𝑛+1)(2.2𝑛+1)

DeThi.edu.vn

= 𝑛2 −𝑛+ 2 2𝑛−2𝑛−2

2(2𝑛+ 1)(2. 2𝑛+ 1) =

𝑛 𝑛−1 + 2 2𝑛−2𝑛−2

2(2𝑛+ 1)(2. 2𝑛+ 1)

≥

𝑛 3 −1 + 2 23 −2𝑛−2

2(2𝑛+ 1)(2. 2𝑛+ 1) = 14𝑛+ 14 2(2𝑛+ 1)(2. 2𝑛+ 1) > 0, ∀𝑛≥3

Như vậy 𝑢𝑛> 𝑢𝑛+1 nên với 𝑛≥3 dãy số {𝑢𝑛} là dãy số giảm

Lại có 𝑢6 =

23 65 suy ra 𝑢𝑛≤

23 65 𝑢𝑛≤𝑢6 =

23 65 𝑛≥6

Ta có:

2526.2𝑛−99

2𝑛+1 ≤𝑢𝑛

2526.2𝑛−99

2𝑛+1 ≤

𝑛2+𝑛+4 2(2𝑛+1)

2526.2𝑛

299 ≤

𝑛2+𝑛+4

2

2𝑛

𝑛2+𝑛+4 ≤

2100

10104

2𝑛

𝑛2+𝑛+4 ≤

2100

1002+100+4 (*)

Xét 𝑎𝑛=

2𝑛

𝑛2+𝑛+4 𝑎𝑛+1 =

2𝑛+1

(𝑛+1)2+(𝑛+1)+4 =

2.2𝑛

𝑛2+3𝑛+6

𝑎𝑛+1 −𝑎𝑛=

2.2𝑛

𝑛2+3𝑛+6 −

2𝑛

𝑛2+𝑛+4 =

2𝑛(𝑛2−𝑛+2) (𝑛2+3𝑛+6)(𝑛2+𝑛+4) =

2𝑛(𝑛(𝑛−1)+2) (𝑛2+3𝑛+6)(𝑛2+𝑛+4) > 0 với ∀𝑛≥3

Vậy dãy số {𝑎𝑛} là dãy số tăng. Suy ra:

(∗) 𝑎𝑛≤𝑎100 𝑛≤100

Vậy ta có

2526.2𝑛−99

2𝑛+1 ≤𝑢𝑛≤

23 65 6 ≤𝑛≤100 𝑛∈ 6,7,8, . . ,100

Suy ra có 95 số hạng của dãy số{𝑢𝑛} thỏa mãn đề bài.

DeThi.edu.vn