22 chuyên đề bồi dưỡng Hình học 7

1

Chuyên đề 1. HAI GÓC ĐỐI ĐỈNH

A. Kiến thức cần nhớ

1. Hai góc đối đỉnh là hai góc mà mỗi cạnh của góc này là tia đối của một cạnh của góc

kia (hình 1.1).

2. Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau:

; ∠ = ∠ ∠ = ∠ AOC BOD AOD BOC

Hình 1.1

B. Một số ví dụ

Ví dụ 1. Cho góc bẹt AOB. Trên hai nửa mặt phẳng đối nhay bờ AB vẽ hai tia OM và ON

sao cho ∠ = ∠ AOM BON . Chứng minh rằng hai góc AON và BOM là hai góc đối đỉnh

Giải (h1.2)

H1.2

* Tìm cách giải

Để chứng tỏ hai góc AON và BOM là hai góc đối đỉnh, ta cần chứng tỏ mỗi cạnh của góc

này là tia đối một cạnh của góc kia. Vì đã có hai tia OA và OB đối nhau nên chỉ còn phải

chứng tỏ hai tia OM, ON đối nhau bằng cách chứng tỏ MON là góc bẹt.

* Trình bày lời giải:

Góc AOB là góc bẹt nên hai toa OA, OB đối nhau. Hai góc AOM và BOM kề bù nhau nên

∠ + ∠ AOM BOM = 180°.

Mặt khác ∠ = ∠ AOM BON ( đề bài cho) nên ∠ + ∠ BON BOM =180°.

Suy ra ∠MON = 180°.

Hai góc AON và BOM có mỗi cạnh của góc này là tia đối một cạnh của góc kia nên chúng

là 2 góc đối đỉnh.

Ví dụ 2. Cho hai đường thẳng EF và GH cắt nhau tại O tạo thành bốn góc không kể góc

bẹt. Biêt tổng ∠ + ∠ + ∠ EOG GOF FOH = 250°. Tính số đo của bốn góc tạo thành.

Giải (h.1.3)

THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC

2

* Tìm cách giải:

Để tính được số đo của bốn góc tạo thành, trước tiên ta phải tính được số đo của một trong

bốn góc đó.

* Trình bày lời giải:

Ta có ∠ + ∠ + ∠ EOG GOF FOH = 250° (đề bài cho),

Mà OF ∠ + ∠ EOG G = 180° (hai góc kề bù) nên

∠FOH = 250°-180 °

∠ + ∠ FOH GOF =180° (hai góc kề bù) => ∠GOF = 180°-70°=110°

Vậy ∠ = ∠ EOG FOH = 70° (hai góc đối đỉnh); ∠ = ∠ HOE GOF = 110° (hai góc đối đỉnh).

* Nhận xét: Sau khi tính được số đo một góc ta tính được số đo ba góc còn lại nhờ vận

dụng tính chất góc kề bù và góc đối đỉnh.

Ví dụ 3. Cho bốn đường thẳng cắt nhau tại mộ điểm. Xét các góc không có điểm trong

chung, chứng tỏ rằng tồn tại hai góc nhỏ hơn 45°.

Giải (h1.4)

*Tìm cách giải:

Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau. Do đó để chứng tỏ tồn tại hai

góc nhỏ hơn hoặc bằng 45, ta chỉ cần chứng minh tồn tại một

góc nhỏ hơn hoặc bằng 45.

*Trình bày lời giải:

Bốn đường thẳng cắt nhau tại một điểm tạo ra 8 góc không có điểm trong chung. Nếu tất

cả các góc này đều lớn hơn 45° thì tổng của chúng lơn hơn 45°x8=360°. Điều này vô lý vì

tổng của 8 góc này đúng bằng 360°.

Vậy phải tồn tại một góc nhỏ hơn hoặc bằng 45°. Góc này và góc đối đỉnh nó bằng nhau.

Do đó tồn tại hai góc nhỏ hơn hoặc bằng 45°.

Ví dụ 4. Trong hình 1.5, hai góc AOC và BOD là

hai góc đối đinh. Hai tia OE và OF là hai tia đối

nhau. Biết OE là tia phân giác của góc AOC,

chứng tỏ rằng OF là tia phân giác của góc BOD

H 1.5

Giải.

* Tìm cách giải : Ta cần chứng tỏ ∠O3 =∠O4. Muốn vậy ta phải sử dụng tính chất của hai

góc đối đỉnh.

* Trình bày lời giải :

Hai góc AOC và BOD là hai góc đối đỉnh nên các tia OA, OB đối nhau. Ngoài ra hai tia

OE, OF cũng đối nhay nên ta có ∠O1 =∠O3 ; ∠O2 =∠O4

Vì ∠O1 =∠O2 nên ∠O3 =∠O4 (1)

THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC

3

Mặt khác tia OF nằm giữa hai tia OB, OD (2)

Nên từ (1), (2) suy ra OF là tia phân giác của góc BOD.

C. Bài tập vận dụng.

• Tính số đo góc.

1.1 Hai đường thẳng AB, CD cắt nhau tại O tạo thành bốn góc không kể góc bẹt. Biết ∠

AOC + ∠BOD= 100°. Tính số đo mỗi góc tạo thành.

1.2 Cho hai đường thẳng MN, PQ cắt nhau tại O tạo thành bốn góc khác góc bẹt biết ∠

NOP= 2 3 ∠MOP . Tính số đo mỗi góc tạo thành.

1.3 Cho hai đường thẳng AB, CD cắt nhau tại O. Vẽ tia OM là tia phân giác góc AOC. Biết

∠BOD= a° ( 0<a<180). Tìm giá trị của a để ∠BOM= 155°

1.4 Cho hai đường thẳng EF, GH cắt nhau tại O. Vẽ tia phân giác OK của góc EOG. Biết ∠

FOK=m° (0<m<180). Tìm giá trị của m để ∠FOH= 110°.

1.5 Cho hai đường thẳng AB, CD cắt nhau tại O, ∠BOC =60°. Một tia Ox có thể trùng với

tia OB hoặc OC hoặc nằm giữa hai tia này. Vẽ tia Oy là tia đối của tia Ox. Tìm số đo

lớn nhất của góc Aoy.

1.6 Cho ba đường thẳng AB, CD, MN cắt nhay tại O.

a) Trong hình vẽ có tất cả bao nhiêu góc.

b) Chứng tỏ rằng …