Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 6 - Phòng giáo dục và đào tạo huyện Giao Thủy (Có đáp án)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HUYỆN GIAO THỦY

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

Môn : Toán Lớp 6 Thời gian làm bài 120 phút

(Đề khảo sát gồm 01 trang)

Bài 1.(5,0 điểm). Câu 1. Tính. a) A = 2 + 22 + 222 + 2222 + ... + 22...2

b) B = + + + ... + +

Câu 2. Cho C = + + + ... +

Chứng minh rằng : C >

Bài 2. ( 3,0 điểm). Tìm số tự nhiên x, biết:

a) 1 + 2 +3 +4 +...+ x = 820 b) x + 2x + 3x + ... + 99x + 100x = 15150 Bài 3.( 6,0 điểm). Câu 1: Chứng minh rằng :

a) A = 75.( 41975 + 4 1974 + ... + 42 +5 ) + 25 chia hết cho 41976

b) B = 10n + 72n – 1 chia hết cho 81 với n là số tự nhiên.

Câu 2. Tìm số nguyên n để phân số có giá trị là một số nguyên.

Bài 4.( 4,0 điểm ).

a) Cho 2016 đường thẳng, trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau không có ba đường thẳng nào cắt nhau tại một điểm . Em hãy tính số giao điểm của 2016 đường thẳng đó. b) Cho n đường thẳng, trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau không có ba đường thẳng nào cắt nhau tại một điểm. Biết rằng số giao điểm của các đường thẳng đó là 1128. Tính n. Bài 5. ( 2,0 điểm ) Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất sao cho a chia cho 3 dư 2, chia cho 5 dư 3, chia cho 7 dư 4.

50 chữ số 2

ĐỀ CHÍNH THỨC

DeThi.edu.vn

PHÒNG GD&ĐT

GIAO THỦY

HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI HỌC SINH GIỎI

Bài 1. (5,0 điểm). Câu 1. (3,0 điểm)

Đáp án Điểm a) (1,5 điểm) A = 2 + 22 + 222 + 2222 + ... + 22 ... 2

= 2. ( 1 + 11 + 111 + 1111 + ... + 11... 1 )

9A = 2.( 9 + 99 + 999 + 9999 + ... + 99 ... 9 )

9A = 2.

= 2.

= 2. ( 11 ... 10 – 50)

= 2. 11 ... 1060 = 22 ... 2120

Suy ra A = 22 ... 2120 : 9

b) ( 1,5 điểm )

B = + + + ... + +

2B = + + + ... + +

= - + - + - + ... + - + - = -

=

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0, 5

0,25

0,25

50 chữ số 2

50 chữ số 1

50 chữ số 9

50 chữ số 1

48 chữ số1 48 chữ số 2

48 chữ số 2

DeThi.edu.vn

Suy ra B = : 2 = 0,25

Câu 2.( 2,0 điểm )

C = ( + + ... + ) + ( + + ... + ) + ( + + ... + ) +( +

+ ... + )

C . 25 + . 25 + .25 + 25

C > + + + = ( + + +

C > + > + =

0,50

0,50

0,50

0,50

Bài 2: ( 3 điểm )

a) (1,5 điểm)

1 + 2 +3 +4 +...+ x = 820 Tính tổng : 1 + 2 +3 +4 +...+ x Vì các số hạng của tổng là các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến x nên số số hạng của tổng là:( x – 1) : 1 + 1 = x ( số hạng ) Vậy tổng trên là: ( x + 1).x : 2

Theo bài ra ta có 1 + 2 +3 +4 +...+ x = 820 nên ( x + 1).x : 2 = 820

( x + 1 ).x = 2. 820 ( x + 1 ).x = 23.5.41 ( x + 1 ).x = 40.41

Vì x và x + 1 là 2 số tự nhiên liên tiếp mà x < x + 1 nên x = 40 và x + 1 = 41

Vậy x = 40

b) (1,5 điểm) x + 2x + 3x + ... + 99x + 100x = 15150 ( 1 + 2 + 3 + ... + 99 + 100).x = 15150

0,25

0,25

0,50

0,25

0,25

DeThi.edu.vn

[ ( 1 + 100) + ( 2 + 99) + ( 3 + 98) + ... ( 50 + 51) ].x = 15150

( 101 + 101 + 101 + ... + 101).x = 15150

101.50.x = 15150

5050x = 15150 x = 3 Vậy x = 3.

0,50

0,25

0,25

0,25

0,25

Bài 3: ( 6,0 điểm) Câu 1. ( 4,0 điểm )

a) (2,0 điểm) Đặt M = 41975 + 4 1974 + ... + 42 +5 = 41975 + 4 1974 + ... + 42 + 4 + 1 4M = 4.( 41975 + 4 1974 + ... + 42 + 4 + 1) = 41976 + 4 1975 + ... + 43 + 42 + 4

4M – M = ( 41976 + 4 1975 + ... + 43 + 42 + 4) – (41975 + 4 1974 + ... + 42 + 4 + 1)

3M = 41976 – 1

M = (41976 – 1): 3 => A = 75. (41976 – 1): 3 + 25

= 25. (41976 – 1) + 25

= 25. 41976 - 25 + 25

= 25. 41976 chia hết cho 41976

b) (2,0 điểm) B = 10n + 72n – 1 = 10n – 1 – 9n + 81n = 99 ... 9 – 9n + 81n

= 9. ( 11 ... 1 – n) + 81n

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0, 50

0,25

Có 50 cặp sốhạng

Có 50 số hạng

n chữ số 9

n chữ số 1

DeThi.edu.vn