Chuyên đề tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

Trang 1

CHUYÊN ĐỀ 3. QUAN HỆ GIỮA CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁC.

CÁC ĐƯỜNG ĐỒNG QUY TRONG TAM GIÁC

BÀI 4. TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN CỦA TAM GIÁC

Mục tiêu

 Kiến thức

+ Phát biểu được định nghĩa đường trung tuyến của tam giác.

+ Phát biểu được tính chất ba đường trung tuyến của tam giác.

 Kĩ năng

+ Vẽ được các đường trung tuyến của tam giác.

+ Vận dụng được các định nghĩa và tính chất về đường trung tuyến.

Trang 2

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

Tính chất đồng quy của ba đường trung tuyến

- Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi

qua một điểm.

- Điểm gặp nhau của ba đường trung tuyến gọi là

trọng tâm của tam giác.

Vị trí của trọng tâm trên đường trung tuyến

- Trọng tâm của tam giác cách mỗi đỉnh một

khoảng bằng 2

3 độ dài đường trung tuyến đi qua

đỉnh ấy.

Ta có G là trọng tâm tam giác ABC thì

2 2 2 ; ; 3 3 3 GA AD GB BE GC CF   

hay 2 . 3 AG BG CG AD BE CF   

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Sử dụng tính chất trọng tâm tam giác

Phương pháp giải

- Ba đường trung tuyến của tam giác đồng quy tại

một điểm. Điểm này gọi là trọng tâm của tam giác.

- Trọng tâm của tam giác cách mỗi đỉnh một

khoảng bằng 2

3 độ dài đường trung tuyến đi qua

đỉnh ấy.

Bước 1. Xác định trọng tâm nằm trên đường trung

tuyến nào.

Bước 2. Sử dụng linh hoạt tỉ lệ khoảng cách từ

trọng tâm đến hai đầu đoạn thẳng trung tuyến.

Ví dụ: Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến

BM, CN cắt nhau tại G. Chứng minh rằng

3 . 2 BM CN BC  

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM và

CN cắt nhau tại G. Suy ra G là trọng tâm tam giác

ABC

2 2 ; 3 3 BG BM CG CN   

Trang 3

3 3 ; . 2 2 BM BG CN CG   

Do đó ta phải chứng minh 3 3 3 2 2 2 BG CG BC  

hay  . 1 BG CG BC  

Bất đẳng thức  1 luôn đúng vì trong một tam giác

tổng độ dài hai cạnh lớn hơn độ dài cạnh còn lại.

Vậy 3 . 2 BM CN BC   (điều phải chứng minh).

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC cân tại A có hai đường trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G.

a) Chứng minh . BD CE 

b) Chứng minh tam giác GBC là tam giác cân.

c) Chứng minh 1 . 2 GD GE BC  

Hướng dẫn giải

a) Ta có ABC  cân tại A AB AC   mà 2 ; AB BE 

2 AC CD  (vì E, D theo thứ tự là trung điểm của AB,

AC).

Do đó ta có 2 2 BE CD  hay . BE CD 

Xét BCE  và CBD  có

BE CD  (chứng minh trên);  ; EBC DCB  BC là cạnh

chung.

Do đó BCE CBD   (c.g.c)

CE BD   (hai cạnh tương ứng).

b) Ta có G là trọng tâm tam giác ABC nên 2 3 BG BD 

và 2 3 CG CE  (tính chất trọng tâm).

Mà CE BD  (phần a) nên 2 2 3 3 CE BD  hay

. CG BG 

Vậy tam giác GBC cân tại G.

c) Ta có

Trang 4

2 1 1 2 3 3 2 GB BD GD BD GB GD GD GB       

Chứng minh tương tự, ta có 1 . 2 GE GC 

Do đó   1 1 1 . 2 2 2 GD GE GB GC GB GC     

Mà GB GC BC   (trong một tam giác tổng độ dài hai

cạnh lớn hơn cạnh còn lại).

Do đó 1 2 GD GE BC   (điều phải chứng minh).

Ví dụ 2. Cho tam giác ABC. Trên cạnh BC lấy

điểm G sao cho 2 . BG GC  Vẽ điểm D sao cho C

là trung điểm của AD. Gọi E là trung điểm của BD.

Chứng minh

a) Ba điểm A, G, E thẳng hàng.

b) Đường thẳng DG đi qua trung điểm của AB.

Hướng dẫn giải

a) Xét tam giác ABD có C là trung điểm của cạnh AD  BC là trung tuyến của tam giác ABD.

Hơn nữa G BC  và 2 2 3 GB GC GB BC     G là trọng tâm tam giác ABD.

Lại có AE là đường trung tuyến của tam giác ABD nên A, G, E thẳng hàng.

b) Ta có G là trọng tâm tam giác ABD DG là đường trung tuyến của tam giác này. Suy ra DG đi qua

trung điểm của cạnh AB (điều phải chứng minh).

Bài tập tự luyện dạng 1

Câu 1: Cho tam giác ABC cân ở A, đường trung tuyến AM.

a) Chứng minh AM BC 

b) Tính AM biết rằng 10 , 12 . AB cm BC cm  

Câu 2: Cho tam giác ABC có ba đường trung tuyến AX, BY, CZ cắt nhau tại G. Biết . GA GB GC   Chứng minh . GX GY GZ  

Câu 3: Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến AD và BE vuông góc với nhau tại G. Biết

4,5 , 6 . AD cm BE cm   Tính độ dài AB.