Chuyên đề các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông

Trang 1

BÀI 8. TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA TAM GIÁC VUÔNG

Mục tiêu

 Kiến thức

+ Nắm được các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông: 4 trường hợp.

+ Vận dụng định lí Py-ta-go để chứng minh trường hợp cạnh huyền - cạnh góc vuông.

 Kĩ năng

+ Vận dụng các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông để phát hiện và chứng minh hai tam

giác vuông bằng nhau.

+ Chứng minh được hai đoạn thẳng bằng nhau, hai góc bằng nhau.

Trang 2

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

Trường hợp 1. Cạnh góc vuông - cạnh góc vuông

Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này lần

lượt bằng hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia

thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

Hai cạnh góc vuông (c.g.c)

Trường hợp 2. Cạnh góc vuông - góc nhọn kề

Nếu một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy

của tam giác vuông này bằng một cạnh góc vuông và

một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông kia thì

hai tam giác vuông đó bằng nhau.

Cạnh góc vuông - góc nhọn kề (g.c.g)

Trường hợp 3. Cạnh huyền - góc nhọn

Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông

này bằng cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác

vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

Cạnh huyền - góc nhọn

Trường hợp 4. Cạnh huyền - cạnh góc vuông

Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác

vuông này bằng cạnh huyền và một cạnh góc vuông

của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng

nhau.

Cạnh huyền - cạnh góc vuông

Trang 4

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau

Phương pháp giải

Bước 1. Kiểm tra các điều kiện bằng nhau của hai

tam giác vuông.

Bước 2. Kết luận hai tam giác bằng nhau.

Ví dụ: Cho ∆ABC cân tại A. AM là tia phân giác

của   , A M BC  . D, E là hình chiếu của M trên

AB và AC. Chứng minh rằng MDB MEC   .

Hướng dẫn giải

Xét ∆AMD    90 ADM   và ∆AME

   90 AEM   có   DAM EAM  (giả thiết), AM là

cạnh chung.

Do đó AMD AME   (cạnh huyền - góc nhọn)

Suy ra MD ME  (hai cạnh tương ứng).

∆ABC cân tại A nên   ABC ACB 

Mặt khác   90 DBM DMB   ;

  90 EMC ECM   .

Suy ra   DMB EMC 

Xét ∆MDB và ∆MEC, có

  90 BDM CEM   ;

MD ME  (chứng minh trên),   DMB EMC  (chứng minh trên).

Do đó MDB MEC   (cạnh góc vuông - góc

nhọn).

Ví dụ mẫu

Ví dụ. Cho ∆ABC cân tại A. Trên cạnh BC lấy hai điểm D, E sao cho BD EC  .

Gọi M, N là hình chiếu của D, E trên AB, AC. Chứng minh rằng AMD ANE   .

Hướng dẫn giải

Trang 5

Xét ∆ADB và ∆AEC có

BD EC  (giả thiết),   B C  (∆ABC cân tại A), AB AC  (∆ABC cân tại A).

Do đó   . . ADB AEC c g c   .

Suy ra   1 2 A A  (hai góc tương ứng); AD AE  (hai cạnh tương ứng).

Xét ∆AMD và ∆ANE có

    1 2 90 , AMD ANE A A     (chứng minh trên), AD AE  (chứng minh trên).

Do đó AMD ANE   (cạnh huyền - góc nhọn).

Bài tập tự luyện dạng 1

Câu 1: Cho hình vẽ sau:

Hãy chọn khẳng định sai?

A. ADB ADC   . B. IDB IDC   .

C. AFC ABE   . D. AFI AEI   .

Câu 2: Cho hình vẽ bên.

Hãy chọn khẳng định sai?

Trang 6

A. AED AFD   . B. BED CFD   .

C. ADB ADC   . D. ADE AFD   .

Câu 3: Cho ∆ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao

cho BD CE  . Kẻ BH vuông góc với AD   H AD  , kẻ CK vuông góc với AE   K AE  . Chứng minh

rằng AHB AKC   .

Dạng 2: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, hai góc bằng nhau

Phương pháp giải

Bước 1. Chọn hai tam giác vuông có cạnh (góc) là

hai đoạn thẳng (góc) cần chứng minh bằng nhau.

Bước 2. Chứng minh hai tam giác vuông bằng

nhau.

Bước 3. Suy ra hai cạnh (góc) tương ứng bằng

nhau.

Ví dụ: Cho ∆ABC cân tại A, M là trung điểm của

BC. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của M trên AB

và AC. Chứng minh rằng BD CE  .

Hướng dẫn giải

Xét ∆BDM vuông tại D và ∆CEM vuông tại E có:

  DBM ECM  (∆ABC cân tại A),

MB MC  (giả thiết).

Do đó BDM CEM   (cạnh huyền - góc nhọn).

Suy ra BD CE  (hai cạnh tương ứng).

Ví dụ mẫu

Ví dụ. Cho ∆ABC vuông tại A có AB AC  . Vẽ AH vuông góc với BC   H BC  . Gọi D là điểm trên

cạnh AC sao cho AD …