Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm 2022-2023 (Có đáp án)

1

MÃ KÍ HIỆU ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI

Năm học: 2022-2023 MÔN: TOÁN LỚP 8 Thời gian làm bài: 150 phút Đề thi gồm 06 câu trong 01 trang Câu 1: (4đ)

a, Phân tích đa thức sau thành nhân tử

A = ( x2 -2x)(x2-2x-1) - 6 b, Cho x Z chứng minh rằng x200 + x100 +1 x4 + x2 + 1 Câu 2: (2đ)

Cho x,y,z 0 thoả mãn x+ y +z = xyz và + + =

Tính giá trị của biểu thức P =

Câu 3: (3đ) Tìm x biết

a, < 5x -4

b, + =

Câu 4: (3đ)

a, Chứng minh rằng A = n3 + (n+1)3 +( n+2)3 9 với mọi n N* b, Cho x,y,z > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P =

Câu 5: (6đ)

Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đường cao AH (H BC). Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.

1. Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng. Tính độ dài đoạn BE theo . 2. Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC đồng dạng. Tính số đo của góc AHM 3. Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh: .

Câu 6: (2 đ) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x6 + 3x2 + 1 = y3

---------------Hết----------------

 

 x 1

y 1

z 1 3

2 2 2

1 1 1

z y x  

2 3  x

57

43  x

54

46  x

48

52 51

49    x x

 

y x

z x z

y z y

x

    



m AB 

GB HD BC AH HC  

DeThi.edu.vn

2

Câu 1 (4 điểm). a)

Đặt a = x2 -2x thì x2 -2x -1 = a-1 1.0 đ

A = (x+1)(x-3)(x2-2x+2) 1.0 đ

b, A = x200 +x100 + 1= (x200-x2) + (x100-x4 )+ (x4+x2+1) =x2(x198-1)+x4(x96-1) + (x4 +x2+1) = x2((x6)33- 1)+x4((x6)16-1) +(x4+x2=1)= x2(x6-1).B(x) +x4(x6-1).C(x) +(x4 +x2+1)

1.0 đ Câu1 b)

dễ thấy x6-1 =( x3-1)(x3+1)= (x+1)(x-1)(x4 +x2+1) x4 + x2 + 1

A chia hết cho x4 + x2 + 1

1.0 đ

Có ( = + 2( 0.75đ

( = p + 2

vậy P+2=3

0,75đ

Câu 2 ( 2 điểm)

suy ra P = 1 0.5đ

Câu 3 ( 3 điểm)

Theo bài ra ta có : 4-5x < 3x +2< 5x - 4 1.0 đ







2) 1 1 1

z y x

  2 2 2

1 1 1

z y x   ) 1 1 1

yz xz xy

 

2) 3 xyz

x y z  

MÃ KÍ HIỆU HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8

Năm 2023 MÔN: TOÁN (Hướng dẫn chấm gồm 04 trang)

DeThi.edu.vn

3

a)

Giải các bất pt (1) và (2) sau 4-5x < 3x +2 (1) 3x +2< 5x – 4 (2) Ta được nghiệm chung x > 3

0.5đ

b, Cộng 1 vào mỗi phân thức rồi đặt nhân tử chung ta được pt: (x+100)( ) = 0

0,5 đ

x + 100 = 0 vì ( ) khác 0

0.5 đ

Câu 3 b)

x = -100 Vậy S =

0.5 đ

a, A = n3+(n3+3n2+3n+1)+(n3+6n2+12n+8) =3n3+9n2+15n+9 = 3(n3+3n2+5n+3) 0.5đ

Đặt B= n3+3n2+5n+1 = n3+n2+ 2n2+2n + 3n+3 =n2(n+1) +2n(n+1) +3(n+1) = n(n+1)(n+2) + 3(n+1)

0,5 đ

Câu 4: (3 điểm) a)

Ta thấy n(n+1)(n+2) chia hết cho 3 ( vì tích của 3 số tự nhiên liên tiếp ) 3(n+1) chia hết cho3 B chia hết cho 3 A =3B chia hết cho 9

0,5 đ

Đặt y+z =a ; z+x =b ; x+y = c x+y+z = 2

c b a  

x = ; y = ; z=

0.5đ

P = =

=

0.5đ

b)

Min P = ( Khi và chỉ khi a=b=c x=y=z 0.5đ

48

1 51

1 54

1 57

1   

 48

1 51

1 54

1 57

1   



  100 

 



 2

c b a   

2

c b a  

2

c b a  

c

c b a b

c b a a

c b a

2 2 2

        

) 1 1 1 ( 2 1

c b c a b c b a a c a b         

)) ( ) ( ) ( 3 ( 2 1

b c c b c a a c b a a b        2

3

2 3 

DeThi.edu.vn