Đề thi chọn học sinh giỏi Huyện môn Toán Lớp 8 - Năm học 2022-2023 (Có đáp án)

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 8

NĂM HỌC 2022 – 2023

Môn: Toán – ( Thời gian làm bài 120 phút ) Bài 1 (3,0 điểm).

Cho các số a, b thỏa mãn điều kiện: 2 2 2 7 3 0, 2 , 2 a ab b b a b a      .

Tính giá trị của biểu thức A = 8 3 2 5 2 2 a b a b a b a b      Bài 2 (4,0 điểm).

a. Tìm số nguyên a để: a3 – 3a2 + 4a – 5 chia hết cho a2 + 2. b. Tìm số nguyên tố p, q, r sao cho:    2 2 2 7 7 7 p q r    là một số chính

phương.

Bài 3 (6,0 điểm).

a. Biết đa thức 3 4x ax b  , (a, b là hệ số ) chia hết cho đa thức x – 2 và x + 1.

Tính: 5a – 6b.

b. Giải phương trình:

2 2 1 1 2 4 3 0 2 4 4 x x x x x x                     

c. Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn: x + y + z = 2023

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P =

3 3 3

2 2 2 x y z y z x  

Bài 4 (6,0 điểm). 1. Cho ABC  vuông tại A (AB < AC ) đường cao AH. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên AC, AB. Gọi I là giao điểm của AH và EF, BI cắt AC tại M, CI cắt AB tại N. Đường thẳng qua A song song BI cắt đường thẳng BC tại K.

a. Chứng minh: B là trung điểm của HK b. Chứng minh: 1 AM AN CM BN  

2. Cho hình vuông ABCD cạnh a. M là điểm tùy ý trên AB ( M khác A và B). Nối

MC cắt BD tại P, MD cắt AC tại Q. Tìm giá trị lớn nhất của MPQ S và giá trị nhỏ

nhất của CPQD S .

DeThi.edu.vn

Bài 5 (1,0 điểm). Cho 40 số nguyên dương 1 2 19 ; ;....; a a a và 1 2 21 ; ;....; b b b và thỏa mãn

các điều kiện: 1 2 19 1 2 21 1 ... 200;1 ... 200 a a a b b b           .

Chứng minh rằng tồn tại bốn số ; ; ; .1 , 19;1 , 21 i j k p a a b b i j k p     sao cho

, i j k p a a b b   và . j i p k a a b b   

--------------Hết-------------

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO DIỄN CHÂU

HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 8– NĂM HỌC 2022-2023

Bài Nội dung Biểu điểm Cho các số a, b thỏa mãn điều kiện: 2 2 2 7 3 0, 2 , 2 a ab b b a b a     

Tính giá trị của biểu thức A = 8 3 2 5 2 2 a b a b a b a b     

1 A = 8 3 2 5 2 2 a b a b a b a b     

       

8 3 2 2 2 5 2 2 a b a b a b a b a b a b        

=

2 2

2 2 12 14 8 4 a ab b a b   

=   2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 12 2 3 2 8 8 2 2 4 4

a b a b a b a b a b

       

1,0

1,0

1,0

a. Tìm a nguyên để a3 – 3a2 + 4a – 5 chia hết cho a2 + 2.

+) Thực hiện phép chia a3 – 3a2 + 4a – 5 cho a2 + 2, kết quả : a3 – 3a2 + 4a – 5 = (a2 + 2)(a - 3) + (2a + 1)

+) Lập luận để phép chia hết thì 2a + 1 phải chia hết cho a2 + 2

    2 2 2 2 2

2 4 1 2 4 2 9 2 9 2

2 3 1.

a a a a a

a a

        

    

  

+) Thử lại và kết luận a = 1 ( T/m)

0, 75

0, 5

0,5

0,25 2

b. Tìm số nguyên tố p, q, r sao cho:    2 2 2 7 7 7 p q r    là

một số chính phương.

Giả sử . p q r   + Nếu p = 2 2 7 0 p    + Nếu p 2 3 7 0 p     Xét các trường hợp sau:

0,25

DeThi.edu.vn

+ p = 2, từ     2 2 2 7 7 7 p q r    nên bắt buộc q = 2,

      2 2 2 2 3 7 7 7 9 7 r p q r r        là một số chính phương

    2 2 7 , 7 4 r k k Z r k r k r l           + p   2 2 2 3 7; 7; 7 2 mod8 p q r       Ta có:

            2 2 2 7 7 7 8 2 8 2 8 2 8 4 1 4 1 4 1 p q r a b c a b c            ( a, b, c Z   ) Chia hết cho 8 nhưng không chia hết cho 16, nên không là scp Vậy không tồn tại số nguyên tố p, q, r thỏa mãn.

0,75

0,75

0,25

a. Biết đa thức 3 4x ax b  , (a, b là hệ số ) chia hết cho đa thức

x – 2 ; x + 1. Tính: 5a – 6b.

b. Giải phương trình:

2 2 1 1 2 4 3 0 2 4 4 x x x x x x                     

a. 3 4x ax b   = (x – 2)(x + 1 )( 4x + c )

a= - 12; b = - 8

Vậy : 5a – 6b = - 12

0.75

0.75

0.5

3

b) Điều kiện: 2;4 x 

(*)

Đặt:

1 2 1 ; 2 4 4 x x x a b ab x x x           Phương trình (*) trở thành : a2 + ab – 12b2 = 0 (a – 3b)(a + 4b) = 0

+ Nếu a = 3b thì (x+ 1)(x - 4) = 3(x-2)2 Giải phương trình trên và kết luận phương trình vô nghiệm + Nếu a = -4b thì (x+ 1)(x -4) = -4(x-2)2 Giải phương trình trên ta được x = 3; x = 4/5 …