Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 - Năm học 2022-2023 (Có lời giải chi tiết)

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Câu 1. (4,0 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

2 )3 7 2 a x x   b)     2 2 1 1 a x x a   

Câu 2. (5,0 điểm)

Cho biểu thức :

2 2

2 2 3 2 4 2 3 : 2 4 2 2 x x x x x A x x x x x                 a) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn biểu thức A

b) Tìm giá trị của x để 0 A 

c) Tính giá trị của A trong trường hợp 7 4 x  

Câu 3. (5,0 điểm)

a) Tìm , , x y z thỏa mãn phương trình sau:

2 2 2 9 2 18 4 6 20 0 x y z x z y       

b) Cho

1 x y z a b c   

và 0. a b c x y z    Chứng minh rằng:

2 2 2

2 2 2 1 x y z a b c   

Câu 4. (6,0 điểm)

Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo . BD Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD

a) Tứ giác BEDF là hình gì ? Vì sao ?

b) Chứng minh rằng : . . CH CD CBCK 

c) Chứng minh rằng:

2 . . AB AH AD AK AC  

ĐÁP ÁN Câu 1.

         

     

2 2

2 2 2 2

)3 7 2 3 6 2

3 2 2 3 1 2

) 1 1

1

a x x x x x

x x x x x

b a x x a ax a a x x

ax x a x a x a ax

     

      

      

       Câu 2. ĐKXĐ:   0; 2;3 x  

      

   

  

        

2 2 2 2 2 2

2 2 3

2 2

2 4 2 2 2 4 2 3 ) : . 2 4 2 2 2 2 3

2 4 2 2 4 8 4 . 2 2 3 2 2 3 3

x x x x x x x x x x a A x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x x x x x

                                      

b)

2 4 0 0 3 0 3( ) 3 x A x x tmdk x          Vậy 3 x  thì 0 A 

7 4 11( ) 121 ) 7 4 11 7 4 3( ) 2

x x tm c x A khi x x x ktm

                  

DeThi.edu.vn

Câu 3.

a)

2 2 2 9 2 18 4 6 20 0 x y z x z y       

    

     

2 2 2

2 2 2 9 18 9 6 9 2 2 1 0

9 1 3 2 1 0(*)

x x y y z z

x y z

         

      

Do       2 2 2 1 0; 3 0; 1 0 x y z       Nên : 1; 3; 1 x y z   

b) Từ

0 0 a b c ayz bxz cxy x y z xyz       

0 ayz bxz cxy    

Ta có:

2 1 1 x y z x y z a b c a b c            

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 1

2 1

1( )

x y z xy xz yz a b c ab ac bc

x y z cxy bxz ayz a b c abc x y z dfcm a b c

                   

   

Câu 4.

a) Ta có ( ); ( ) / / BE AC gt DF AC gt BE DF   

Chứng minh ( . . ) BEO DFO g c g BE DF     Suy ra tứ giác BEDF là hình bình hành

b) Ta có : · · · · ABC ADC HBC KDC   

Chứng minh ( . ) . . CH CK CBH CDK g g CH CD CK CB CB CD       :

O

K

H

F

E

D

B

A

C

DeThi.edu.vn

c) Chứng minh

  . . . AF AK AFD AKC g g AD AK AF AC AD AC       :

Chứng minh ( . ) CF AH CFD AHC g g CD AC     :

Mà . . CF AH CD AB AB AH CF AC AB AC     

Suy ra  

2 . . . . . AB AH AB AH CF AC AF AC CF AF AC AC      

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

Môn: Toán lớp 8 Thời gian làm bài : 150 phút Câu 1. (2,0 điểm)

Rút gọn biểu thức

     

3 3 3

2 2 2 3 x y z xyz B

x y y z x z

   

    

Câu 2. (4,0 điểm)

a) Tìm số dư trong phép chia đa thức      1 3 5 7 9 x x x x      cho 2 8 12. x x  

b) Tìm mọi số nguyên x sao cho

3 2 2 7 7 x x x    chia hết cho

2 3 x  Câu 3. (4,0 điểm) Giải các phương trình:

a)

 

3 3

3 1 3 3 4 1 0 4 4 x x x                  

b)

3 3 2 1 1 x x x x x x                Câu 4. (4,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức:

a) 3 1 2 4 3 A x x x      

b)

2

2 14 8 9 3 6 9 x x B x x      Câu 5. (4,0 điểm)

Cho tam giác ABC cân tại A. , M Dtương ứng là trung điểm của BC, AM. H là hình chiếu của M trên CD. AH cắt BC tại N, BH cắt AM tại E. Chứng minh rằng

a) MHD CMD   :

b) E là trực tâm ABN  Câu 6. (2,0 điểm)

Cho hình chữ nhật . ABCD Gọi M là trung điểm của cạnh CD và N là một điểm trên

đường chéo AC sao cho · 0 90 . BNM  Gọi F là điểm đối xứng của A qua N. Chứng minh rằng . FB AC 

ĐÁP ÁN Câu 1. Ta có:

DeThi.edu.vn