Bài tập Đại số Lớp 8 Phương trình nghiệm nguyên - Số chính phương - Số nguyên tố

BÀI TẬP PT NGHIỆM NGUYÊN - SỐ CP - SỐ NGUYÊN TỐ Bài 1: 1) Chứng minh rằng không tồn tại số nguyên n thỏa mãn (20142014 +1) chia hết cho n3 + 2012n. 2) Cho x, y là các số nguyên thỏa mãn 2x2 + x = 3y2 + y. Chứng minh x – y; 2x +2y +1 và 3x + 3y +1 đều là các số chính phương.

Giả sử tồn tại số nguyên n thỏa mãn (20142014 +1) chia hết cho n3 + 2012n. Ta có : n3 + 2012n = (n3 – n) + 2013n = n(n -1)(n +1)+2013n. Vì n -1, n, n+1 là ba số nguyên liên tiếp nên có một số chia hết cho 3. Suy ra n(n-1)(n +1) 3; mà 2013 3 nên (n3 + 2012n) 3 (1) Mặt khác: 20142014 + 1 = (2013 + 1)2014 +1 chia cho 3 dư 2 ( vì 2013 3). (2) Từ (1) và (2) dẫn đến điều giả sử trên là vô lý, tức là không có số nguyên nào thỏa mãn điều kiện bài toán đã cho. Từ : 2x2 + x = 3y2 + y (1) => 2x2 –2y2+ x–y = y2 => (x- y)(2x+2y+1) = y2. (2) Mặt khác từ (1) ta có: 3x2 – 3y2 + x – y = x2  ( x –y)( 3x +3y +1) = x2=>(x –y)2( 2x + 2y +1)(3x +3y +1) = x2y2 => ( 2x + 2y +1)(3x +3y +1) là số chính phương. (3) Gọi ( 2x + 2y +1; 3x +3y +1) = d=> ( 2x + 2y +1) d; (3x +3y +1) d => (3x +3y +1) - ( 2x + 2y +1) = (x + y) d => 2(x +y) d =>( 2x + 2y +1) - 2(x +y) = 1 d nên d = 1 => ( 2x + 2y +1; 3x +3y +1) = 1 (4) Từ (3) và (4) => 2x + 2y +1 và 3x +3y +1 đều là số chính phương. Lại có từ (2) =>(x- y)(2x + 2y + 1) là số chính phương  x- y cũng là số chính phương. Vậy 2x2 + x = 3y2 + y thì x –y; 2x +2y +1 và 3x + 3y +1đều là các số chính phương. Bài 2: 1) Tìm x , y nguyên thỏa mãn: x2(y – 5) + x + y – 3 = 0

2) Cho các số nguyên dương a; b; c đôi một nguyên tố cùng nhau, thỏa mãn: (a + b)c = ab. Xét tổng M = a + b có phải là số chính phương không? Vì sao?

Bài 3: 1) Tìm tất cả các cặp số nguyên thỏa mãn:

Có: (1)

Vì , nên từ và chẵn.

Giả sử lẻ và

Vì là số CP, nên và cũng là hai số chính phương.

Do

x2(y – 5) + x + y – 3 = 0 y(x2 + 1) = 5x2 – x + 3 (1)

y nguyên nguyên nguyên (x + 2) (x2 + 1) (vì x + 2 và x2 + 1 nguyên do x

Z) (x+2)(x – 2) (x2 + 1) (x2+1) – 5 (x2 + 1) 5 (x2 + 1)

x = 0; x = 2; x = -2

Thay vào (1) nhận được y tương ứng là 3 ; ( Loại); 5

Vậy tìm được hai cặp số (x; y) thỏa mãn phương trình là (0; 3) ; (-2; 5)

Ta có:

Gọi UCLN của a-c và b-c là d mà a; b; c là 3 số đôi một nguyên tố cùng nhau nên d = 1. Do đó a-c và b-c là hai số chính phương. Đặt a-c = p2; b-c = q2 ( p; q là các số nguyên) c2 = p2q2 c = pq a+b = (a- c) + (b – c) + 2c = ( p+ q)2 là số chính phương

M M M

M

M M M M M

( ; ) x y 2 (1 ) 4 ( 1) x x x y y    

2 (1 ) 4 ( 1) x x x y y    3 2 2 ( ) ( 1) 4 4 1 x x x y y        2 2 ( 1)( 1) (2 1) x x y       

2 , 2 1 0 x y y     1 0 x   x

2 ( 1, 1) x x d d     2 2 1 ; 1 x d x d   M M 2 1 d d    M

2 ( 1)( 1) x x   2 ( 1, 1) 1 x x    ( 1) x  2 ( 1) x 

0 x   2 2 2 2 2 1 ( 1) 1 ( 1) 0 x x x x x x        

 

2

2 2 5x – x 3 2 5 x 1 1 x y x       

 2

2 5 1 x x

    2

2

1 x x



  M

  M  M  M



2

2

1 1

1 5

x

x

    



21

5

( ) a b c ab   

2 ( )( ) a c b c c   

2 2 ; c d c d a d b d    M M M M

 

DeThi.edu.vn