Bài tập Hình học Lớp 8 - Nguyễn Huy Hoàng

Bài 1. Gọi G, G’ lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ABC, A’B’C’. Chứng minh rằng:

Bài 2. Cho a, b, c thoả mãn . Tính Gợi ý: Bài 1. Dùng bài toán phụ sau: Cho tứ giác ABCD. M, N thứ tự là trung điểm AD, BC. Chứng minh rằng AB + CD ≥ 2MN.

Lấy E đối xứng A qua N. Ta có các kết quả sau: ABEC là hình bình hành; MN là đường trung bình của tam giác ADE và AB + CD = CE + CD ≥ DE = 2MN. Dấu bằng xảy ra khi D, C, E thẳng hàng hay AB//CD. Trở lại bài toán:

E

N

M

A

B

C D

K

G'

G H Q P

B

A

C

B'

C'

A'

1 GG ' (AA' BB' CC') 3   

2 2 2 3 3 3 a b c a b c 1       20 11 2004 M a b c   

DeThi.edu.vn

Gọi P, Q, H, K thứ tự là trung điểm BC, B’C’, AG, A’G’. Theo bài toán phụ ta có BB’ + CC’ ≥ 2.PQ; HK + PQ ≥ 2.GG’; AA’ + GG’ ≥ 2.HK

BB’ + CC’ + AA’ + GG’ ≥ 2.( HK + PQ) ≥ 2.2.GG’ = 4.GG’

BB’ + CC’ + AA’ ≥ 3.GG’ hay

Dấu bằng xảy ra khi AA’ // BB’ // CC’. Bài 2. Từ a2 + b2 + c2 = 1 => 0 ≤ a2 ; b2 ; c2 ≤ 1 => a2(a – 1) ≤ 0 (Dấu bằng xẩy ra khi a = 0 hoặc a = 1); b2(b – 1) ≤ 0 (Dấu bằng xẩy ra khi b = 0 hoặc b = 1); c2(c – 1) ≤ 0 (Dấu bằng xẩy ra khi c = 0 hoặc c = 1) => a3 ≤ a2; b3 ≤ b2; c3 ≤ c2 => a3 + b3 + c3 ≤ a2 + b2 + c2 (*) Từ giả thiết ta suy ra phải có dấu bằng ở (*) Như vậy trong 3 số a, b, c có 2 số bằng 0, số còn lại bằng 1 và tổng cần tìm có kết quả là 1. M = 1.

1 GG ' (AA' BB' CC') 3   

2 2 2 3 3 3 a b c a b c 1      

DeThi.edu.vn