Đề kiểm tra chọn đội tuyển học sinh giỏi cấp quận Toán Lớp 9 (Vòng 1) - Năm học 2022-2023 (Có hướng dẫn chấm)

UBND QUẬN ĐỀ KIỂM TRA PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP QUẬN VÒNG 1- NĂM HỌC 2022-2023 MÔN: TOÁN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

Câu 1. ( 5 điểm) Cho biểu thức   2 2 1 2 1 1

        

x x x x x A

x x x x

với 0; 1   x x .

a) Rút gọn biểu thức A .

b) Tính giá trị của biểu thức A khi  

3 5 2 17 5 38

12 5 14 6 5

  

 

x .

c) Đặt 2  x B A , chứng tỏ rằng 0 2   B .

Câu 2. ( 5 điểm) Giải các phương trình sau:

a)

 

3 2 3

3

3 28 0 1 1      

x x x x x

.

b) 1 5 4 3 4     x x .

Câu 3. ( 3 điểm)

a) Tìm tất cả các số nguyên tố p thỏa mãn

2 23  p có đúng 6 ước số dương.

b) Cho , 0  x y . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2 2    

xy x y M xy x y .

Câu 4. ( 6 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn với các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Chứng minh rằng:

a) 1 . .sin 2  ABC S BA BC B và . . . . .cos .cos .cos .  AE BF CD AB BC CA A B C

b) .  tanB tanC AD HD .

c) H là giao điểm ba đường phân giác trong của tam giác DEF .

d) . . . 1 . . .    HB HC HC HA HA HB AB AC BC BA CACB .

Câu 5. ( 1 điểm) Cho 1000 điểm phân biệt trên mặt phẳng 1 2 3 1000 , , ,..., M M M M . Vẽ một đường tròn  C tùy ý có bán kính 1 R .Chứng minh rằng tồn tại điểm A trên đường tròn  C thỏa mãn

1 2 3 1000 ... 1000 AM AM AM AM      .

...............HẾT.............. Giám thị coi thi không giải thích gì thêm! Họ tên thí sinh:............................................................... Số báo danh:........................

ĐỀ CHÍNH THỨC

DeThi.edu.vn

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HD CHẤM ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI CẤP QUẬN - VÒNG 1 NĂM HỌC: 2022 - 2023 Môn thi: TOÁN 9 Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu Ý Nội dung cần đạt Điểm

a

Với 0; 1   x x

  2 2 1 2 1 1

        

x x x x x A

x x x x

       1 2 1 2 1 1

1 1

         

x x x x x x x

x x x x

     1 2 1 2 1       x x x x

1    x x Vậy 1    A x x .

0,5

1,0

0.5

b

c

     3 5 2 17 5 38 5 2 5 2

12 5 3 5 5 14 6 5

     

   

x

1 12 3   x

4   x (tmđk) Thay 4  x vào biểu thức A ta được 4 4 1 3    A Vậy 3  A khi 4.  x

2 2

1  

  x x B A x x

Vì 0; 1 2 0    x x x và

2 1 3 1 0 0 2 4              x x x B

Xét hiệu  

2 2 1 2 0 2 1

       

x B B x x

Vậy 0 2   B

0,5

0.5

0.5

0.5

1.0

1 5,0

DeThi.edu.vn

2

a

b

a) Giải phương trình

 

3 2 3

3

3 28 0 1 1      

x x x x x

. Điều kiện 1  x

3 2 2 3 3 27 0 1 1 1 1                       

x x x x x x x x x x

3 2 2 2 2 3 3 1 27 1 1 1                         

x x x x x x

3 2

3 1 3 1          

x x

2

1 3 1    x x

2 4 4 0     x x 2   x (tmđk) Vậy 2  x .

b) Giải các phương trình sau 1 5 4 3 4     x x .

Điều kiện 3  x . Đặt

2

2 2 1 1 1 0 3 4 3

         

y y x x x y y

Ta có phương trình

2 5 4 1   

y y

y

2

2 5 2 1 2 0 1

      

y y y

y

 

2 2

2 2 5 4 4 2 0 1 5 2 1

        

y y y

y y y

 

  2 2 2 2 1 0 1 5 2 1

                 

y y

y y y

2   y

1 11 2 3 4      x x

(tmđk)

Vậy 11. 4  x

0.5

0.5

0.5

0.5

0.5

0.5

0.5

0.5

0.5

0.5

5,0

3 a

Xét 2  p 2 23 27    p có 4 ước dương (loại) Xét 2 3 23 32     p p có 6 ước dương (tm) Xét 3  p . Ta thấy p lẻ nên    2 2 23 1 24 1 1 24        p p p p

0.5

DeThi.edu.vn