30 Câu hình học trong đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên

1

Câu 1. (Hà Nội-TS10-2011-THPT Chuyên) Cho hình bình hành ABCD với 90 BAD . Đường phân giác của

góc BCD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD tại O khác C . Kẻ đường thẳng d đi qua A và vuông góc với CO . Đường thẳng d lần lượt cắt các đường thẳng ; CB CD tại ; E F .

1). Chứng minh rằng OBE ODC. 2). Chứng minh rằng O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF . 3). Gọi giao điểm của OC và BD là I , chứng minh rằng . . . . IB BE EI ID DF FI . Lời giải

1). Tứ giác OBCD nội tiếp và CO là phân giác góc BCD , suy ra OBD OCD OCB ODB , nên tam giác OBD cân tại O , do đó OB OD (1).

Tứ giác OBCD nội tiếp ODC OBE (cùng bù với góc OBC ) (2).

Trong tam giác CEF có CO vừa là đường cao vừa là đường phân giác nên tam giác CEF cân tại C .

Do AB CF AEB AFC EAB, suy ra tam giác ABE cân tại B , nên BE BA CD (3).

2). Từ OBE ODC OE OC .

Mà CO là đường cao tam giác cân CEF , suy ra OE OF .

Từ đó OE OC OF , vậy O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF .

3). Theo trên, ta có BE CD mà CE CF BC DF .

Ta có CI là đường phân giác góc BCD , nên . . IB CB DF IB BE ID DF ID CD BE .

DeThi.edu.vn

2

Mà CO là trung trực EF và I CO , suy ra IE IF .

Từ hai đẳng thức trên, suy ra . . . . IB BE EI ID DF FI .

Câu 2. (Hà Nội-TS10-2012-THPT Chuyên) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O . Gọi M là một

điểm trên cung nhỏ BC ( M khác ; B C và AM không đi qua O ). Giả sử P là một điểm thuộc đoạn thẳng AM

sao cho đường tròn đường kính MP cắt cung nhỏ BC tại điểm N khác M .

1). Gọi D là điểm đối xứng với điểm M qua O . Chứng minh rằng ba điểm ; ; N P D thẳng hàng.

2). Đường tròn đường kính MP cắt MD tại điểm Q khác M . Chứng minh rằng P là tâm đường tròn nội tiếp tam

giác AQN .

Lời giải

1). Vì MP là đường kính suy ra PN MN (1).

Vì MD là đường kính suy ra DN MN (2).

Từ (1) và (2), suy ra ; ; N P D thẳng hàng.

2). Tứ giác APQD nội tiếp ( 0 90 PQD MAD ),

suy ra PAQ PDQ NDM (3).

Xét ( ) O , ta có NDM NAM (4).

Từ (3) và (4) PAQ NAP , suy ra AP là phân giác của góc NAQ (*).

Xét ( ) O , ta có AND AMD .

Xét đường tròn đường kính MP có QMP QNP ANP QNP , nên NP là phân giác của góc ANQ (**).

DeThi.edu.vn

3

Từ (*) và (**), suy ra P là tâm đường tròn nội tiếp tam giác . ANQ

Câu 3. (Hà Nội-TS10-2013-THPT Chuyên) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn ( ) O với . AB AC

Đường phân giác của góc BAC cắt ( ) O tại điểm D khác . A Gọi M là trung điểm của AD và E là điểm đối xứng với D qua tâm O . Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM cắt đoạn thẳng AC tại điểm F khác . A

1). Chứng minh rằng tam giác BDM và tam giác BCF đồng dạng.

2). Chứng minh rằng EF vuông góc với . AC

Lời giải

1). Ta có góc nội tiếp bằng nhau (1) BDM BCF và BMA BFA suy ra 0 0 180 180 BMA BFA hay BMD BFC

(2). Từ (1) và (2) , suy ra BDM và BCF đồng dạng (g - g).

2). Từ AD là phân giác BAC suy ra DB DC vậy DE vuông góc với BC tại trung điểm N của BC .

Từ 1). BDM BCF ∽ , ta có DM BD CF BC .

Vậy ta có biến đổi sau 2 2 DA DM BD CD DE CF CF BC CN CE (3).

Ta lại có góc nội tiếp ADE FCE (4).

Từ (3) và (4) , suy ra EAD EFC ∽ suy ra 90 EFC EAD .

Vậy EF AC .

Câu 4. (Hà Nội-TS10-2014-THPT Chuyên) Cho tam giác ABC nhọn với AB BC và D là điểm thuộc cạnh

BC sao cho AD là phân giác của BAC. Đường thẳng qua C và song song với AD, cắt trung trực của AC tại E. Đường thẳng qua B song song với AD, cắt trung trực của AB tại F .

1). Chứng minh rằng tam giác ABF đồng dạng với tam giác ACE .

2). Chứng minh rằng các đường thẳng ; ; BE CF AD đồng quy tại một điểm, gọi điểm đó là G .

A

B C

O

D

M

F

E

N

DeThi.edu.vn