Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT môn Toán năm 2020 - Trường THPT chuyên KHTN (Có đáp án)

1

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐH KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2020

MÔN THI: TOÁN (cho tất cả các thí sinh)

Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề)

Câu I: (4 điểm)

1)Giải hệ phương trình

2) Giải phương trình

Câu II: (2 điểm)

1) Tìm nguyên dương thỏa mãn 2) Với là những số thực dương thỏa mãn

Chứng minh rằng Câu III. (3 điểm) Cho tam giác có là góc nhỏ nhất trong ba góc của tam giác và nội tiếp đường tròn Điểm thuộc cạnh sao cho là phân giác Lấy các điểm thuộc sao cho các đường thẳng và cũng song song với đường thẳng 1) Chứng minh rằng 2) Gọi giao điểm của đường thẳng với các đường thẳng lần lượt là Chứng minh rằng bốn điểm cùng thuộc một đường tròn. 3) Gọi theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng Chứng minh rằng các đường thẳng và đồng quy. Câu IV. (1 điểm) Với là những số thực dương thỏa mãn Chứng

minh rằng

………………..HẾT……………….

2 2

3 2

7

9 70( )

x y xy

x xy x y

        

11 5 8 2 1 24 3 (5 )(2 1) x x x x      

,x y 2 2 2 2 16 99 9 36 13 26 . x y xy x y x y      

,a b

2 2 2 2 3 5; 8 12 2 3 5 10. a b a b a b ab        

2 2 3 8 10 21 a b ab   

ABC BAC 

( ). O D BC AD . BAC 

, M N ( ) O CM BN

. AD

AM AN 

MN , AC AB

, . E F , , , B C E F

, P Q , . AM AN

, EQ EP AD

, , a b c 3. a b c   

2 2 2

2 2 2 ( ) ( ) ( ) 4 ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) a a bc b b ca c c ab b ab c c bc a a ca b         

DeThi.edu.vn

2

Hướng dẫn câu IV

Ta có Áp dụng BĐT

Trong 3 số theo nguyên tắc DIRICHLET luôn có hai số cùng dấu.

giả sử cùng dấu

Từ (1) và (2) ta có :

Dấu “=” xảy ra

 

2 2 2 2

" " A B C A B C A B C dau x y z x y z x y z

          

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( 3 ) ;(1) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( ) a abc b abc c abc a b c abc VT ab ab c bc bc a ca ca b ab bc ca               

1; 1; 1 a b c   

1; 1 a b   ( 1)( 1) 0 1 2 (2 ) a b ab a b c abc c c            

   

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2

3 3 2( ) 2 ( )

M 3 2 2( ) 2c 3 2( ) c 6 3 6 2

3 2( ) 3 2( ) 2

( 3 ) 4; ( )

M a b c abc a b c abc ac bc c a b

a b c c c ac bc c ab bc ca c c c c

a b c abc M ab bc ca a b c abc ab bc ca ab bc ca a b c abc ab bc ca

           

                

                        (2)

2 2 2

2 2 2 ( ) ( ) ( ) 4 ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) a a bc b b ca c c ab b ab c c bc a a ca b         

2 2 2

2 2 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( )( 1) 0; 0 1

0

a abc b abc c abc ab ab c bc bc a ca ca b a b b a b c a b c

a b

                           

DeThi.edu.vn