Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên ĐHSP môn Toán (Chung) - Năm học 2019-2020 - Sở giáo dục và đào tạo Hà Nội (Có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI NĂM HỌC 2019 - 2020 Đề chính thức Môn: TOÁN ( Chung) (28/5/2019) Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề) Tên : Trương Huỳnh Nhật Vinh Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi Điện thoại : 0353276871.Nguồn gốc :sưu tầm đề và tự tay gõ Câu 1

1.Rút gọn

2

3

2 3

1 3 1 2a 1 : 1 1 1 3 1

a

a a P a a a a

                    

với ( 1) a 

2.Với các số thực x,y,a thỏa mãn 2 4 2 2 4 2 3 3 x x y y y x a     .Chứng minh

3 3 2 2 2 3 x y a   Câu 2. Trên quãng đường AB dài 20 km, tại cùng một thời điểm, bạn An đi bộ từ A đến B và bạn Bình đi bộ từ B đến A. Sau 2 giờ kể từ lúc xuất phát, An và Bình gặp nhau tại C và cùng nghỉ tại C 15 phút (vận tốc của AN trên quãng đường AC không thay đổi, vận tốc của Bình trên quãng đường BC không thay đổi). Sau khi nghỉ, An đi tiếp đến A với vận tốc lớn hơn vận tốc của Bình trên quãng đường BC là 1 km/h. Biết rằng An đến B sớm hơn so với Bình đến A là 48 phút. Hỏi vận tốc của An trên quãng đường AC là bao nhiêu? Câu 3. Cho các đa thức 2 2 ( ) ; ( ) P x x ax b Q x x cx d       với a,b,c,d là số thực . 1.Tìm a và b để 1 và a là ngiệm của P(x)=0 2.Giả sử phương trình P(x)=0 có hai nghiệm phân biệt 1 2 ; x x và Q(x)=0 có hai nghiệm phân biệt 3 4 ; x x sao cho 3 4 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) P x P x Q x P x    .Chứng minh 2 1 4 3 x x x x    Câu 4. Cho đường tròn (O) bán kính R ngoại tiếp tam giác ABC có ba góc nhọn .Gọi 1 1 1 ; ; AA BB CC là các đường cao của tam giác ABC.Đường thẳng 1 1 AC cắt đường tròn (O) tại A’ và C’ ( 1A nằm giữa A’ và 1 C ).Các tiếp tuyến của đường tròn tại A’ và C’cắt nhau tại B’ 1.Gọi là trực tâm tam giác ABC .Chứng minh 1 1 1 1 1 . . HC AC AC HB  2.Chứng minh B;B’;O thẳng hàng 3.Khi tam giác ABC đều .Hãy tính A’C’ theo R. Câu 5. Cho các số thực x,y thay đổi ,tìm giá trị nhỏ nhất của

2 2 ( 2)( 6) 13x 4 26x 24 46 P xy x y y y         GIẢI

DeThi.edu.vn

Câu 1

1.Ta có

2

3

2 3

1 3 1 2a 1 2a 1 : 1 1 1 1 1 1 3 1

a

a a a P a a a a a a

                          

với ( 1) a 

2.Ta có 2 4 2 2 4 2 2 4 2 2 4 2 2 2 3 3 3 3 ( ) x x y y y x a x x y y y x a         

2 4 2 2 4 2 2 4 2 2 4 2 2 3 3 3 3 2 x x y y y x x x y y y x a         .Ta có

2 4 2 2 4 2 4 2 4 2 3 3 3 3 2 x x y y y x x y y x     .Nên chứng minh được 3 3 2 2 2 3 x y a   Câu 2 Gọi x > 0 (km) là khoảng cách từ A đến C. Khi đó 20−x (km) là khoảng cách

từ B đến C.Sau 2 giờ kể từ khi xuất phát, An đi từ A đến C với vận tốc là

2 x (km/h),

Bình đi từ B đến C với vận tốc là 20

2

x  (km/h).Sau 15 phút nghỉ, An đi

từ C đến B với vận tốc là 1 2 x  (km/h), do đó sẽ mất thời gian là 20

1 2

x x





(giờ). Tương

tự thời gian để Bình đi từ Cđến A là 20 1 2

x

x  

(giờ).

An đến B sớm hơn Bình tới A 48 phút, tức 4

5 giờ, do đó thời gian An đi từ C đến B ít

hơn thời gian Bình đi từ C đến A là 4

5 giờ.Vậy ta có phương

trình 20 4 12 20 5 1 1 2 2

x x x x x        

. Vận tốc của An trên quãng đường AC là 6 km/h.

Câu 3 1.Để 1 và a là hai nghiệm của phương trình P(x)=0 thì ta phải có

1

2 (1) 0 1 ( ) 0 2

1 2

a b P

a P a

b

                         

.Thử lại ta thấy 1 2 a b    thoả mãn.

2.Ta có 1 2 3 4 ( ) ( )( ); ( ) ( )( ) P x x x x x Q x x x x x       .Điều kiện đề bài viết thành

3 1 3 2 4 1 4 2 1 3 1 4 2 3 2 4 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) x x x x x x x x x x x x x x x x           

3 2 1 4 3 1 2 4 ( ) ( ) x x x x x x x x          2 1 4 3 x x x x    . Câu 5. Ta có

2 2 2 2 ( 2)( 6) 13x 4 26x 24 46 ( 1) 3 ( 3) 4 6 3.4 6 6 P xy x y y y x y                        .Từ đó kết luận.

DeThi.edu.vn