Hướng dẫn bài tập tương tự dạy trực tuyến Toán Lớp 9 Sử dụng nguyên lí DIRICHLET để giải bài toán tìm cực trị Đại Số

Hướng dẫn bài tập tương tự dạy trực tuyến

“ Sử dụng nguyên lí DIRICHLET để giải bài toán tìm cực trị Đại Số”

Bài 1 Cho các số thực x,y,z thỏa mãn điều kiện xy + yz + zx = 3. Tìm GTNN của biểu thức

Lời giải

Dự đoán điểm rơi

Theo nguyên lý Dirichlet thì trong 3 số ; và luôn tồn tại 2 số có tích

không âm.

. Không mất tính tổng quát giả sử đó là và .

Suy ra:

Mặt khác theo BĐT Bunhiacopxki ta cũng có:

Suy ra:

Dấu “=” xảy ra

Vậy Min(R) = 27 .

Bài 2 Cho các số sao cho .

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Lời giải.

Dự đoán điểm rơi

Theo nguyên lí Dirichlet thì 2 trong 3 số có tích không âm.

Không mất tính tổng quát, giả sử

.

    4 4 4 2 2 2 R x y z    

4 4 4 1 x y z   

  4 1 x    4 1 y    4 1 z 

  4 1 x    4 1 y 

   4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 1 1 0 1 2 2 4 3 3 3 x y x y x y x y x y x y             

     4 4 4 4 2 2 3 1 x y x y      

       4 4 4 4 4 4 2 2 2 3 1 2 x y z x y z        

      2 2 4 4 4 2 2 2 1 1 1 9 x y z x y z xy yz zx          

    4 4 4 2 2 2 27 R x y z     

4 4

4 4

4

3

1 1

1

xy yz zx

x y x y z

x y z



                 

1 x y z    

, , 0 a b c > 2 2 2 4 a b c abc + + + =

S ab bc ca abc = + + -

1 a b c   

( ) ( ) ( ) 1 , 1 , 1 a b c - - -

( )( ) 1 1 0 a b - - ³

( )( ) 1 1 0 2 c a b abc bc ca c Þ - - ³ Þ ³ + -

DeThi.edu.vn

Nên

Mà

Từ hai BĐT trên ta suy ra Max(S)=2 khi

Bài 3:Cho a,b,c không âm thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Lời giải

Theo nguyên tắc DIRICHLET Trong ba số có ít nhất hai số có tích không âm giả sử

Mặt khác từ

Nên

Ta chứng minh

Vậy

Ta chứng minh

Đặt Ta có

Do vai trò bình đẳng a, b, c như nhau nên

khi:

ab bc ca abc ab c + + - £ +

( ) 2 2 2 2 2 4 2 4 2 2 2 a b c abc ab c abc c ab c c ab ab c = + + + ³ + + Þ - ³ + Þ - ³ Þ + £

1. a b c = = =

1 ab bc ca    1 1 1 T a b b c c a      

1, 1, 1 a b c       1 1 0 1 0 1 1 2 a b ab a b a b ab ab bc ca              

1 1 0 ab ab bc ca c a b       

  2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 P a b ab ab a b b c c a a b a b a b b c a b a b

                            

   

   

   

2 2 2 2

2 2 3 2 3 2

2 2 2 2

1 1 1 1 2 1 1 0 1 1 2 1 2 1 2

1 1 2 2 2 2 2 2 0 0 ( ) 2 1 2 1 2 1 2 1

a b a b a b a b

a a b b a a a b b b dung a b a b

                          

                   

    2 2 1 1 1 1 2 1 1 2 a b a b a b a b a b a b

                       

  1 5 2 2 2 a b a b a b

            , :0 2 a b t thi t   

  

2 2 3

2 3 2

1 5 1 5 2 4 5 2 2 0 0 2 2 2 2 2

1 2 4 5 2 0 0 ( ) 0 2 2 2

t t t t t t t t t t

t t t t t dung Vi t t t

                  

          

1 1 1 5 2 a b b c c a        5 2 Min T 

   

   

2 2

2 2

1

( 1)( 1) 0

1 1 2 1; 0

1 1 0 2 1 2 1

ab bc ca

a b

a b ab ab bc ca a b c vacac hoan vi

a a b b

a b

                            

DeThi.edu.vn