Hướng dẫn bài tập tương tự dạy trực tuyến Toán Lớp 9 Sử dụng nguyên lí DIRICHLET để giải bài toán chứng minh bất đẳng thức

Hướng dẫn bài tập tương tự dạy trực tuyến

“ Sử dụng nguyên lí DIRICHLET để giải bài toán chứng minh bất đẳng thức”

Bài 1. Cho các số thực dương a, b, c.

Chứng minh rằng:

Lời giải.

Dự đoán điểm rơi

Theo nguyên lí Dirichlet thì 2 trong 3 số có tích không âm.

. Không mất tính tổng quát, giả sử thì

.

Ta có

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Bài 2 Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng

Lời giải

Dự đoán điểm rơi

Theo nguyên lí Dirichlet thì 2 trong 3 số có ít nhất 2 số có tích không

âm.

sử 2 số nên

Áp dụng BĐT Bunhiacopsky cho 2 dãy

Dãy 1 a , b ,1 dãy 2 : 1 , 1 ,c ta có

nên

2 2 2 4 2( ) a b c abc ab bc ca + + + + ³ + +

2 a b c = = =

( ) ( ) ( ) 2 , 2 , 2 a b c - - -

( )( ) 2 2 0 a b - - ³

( )( ) 2 2 0 2 2 4 c a b abc bc ca c - - ³ Û ³ + -

( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2

4 2 2 4 4 2 2 4

4 2

4

2 1

2 1 2 4 2(

2 4

4 ) 2 2

a b c abc a b c c a b c c

a b c abc

bc ac bc ac

bc ac a b c c

a b c abc bc ac ab c c ab bc ca

+ + + + ³ + + = + + +

Û + + + + ³ + + +

Û + +

+ + + - + + -

+ + -

+ + + = + + + + - ³

2. a b c = = =

( ) 2 2 2 2 ( 2)( 2) 9( ) a b c ab bc ca + + + ³ + +

1 a b c   

2 2 2 1; 1; 1 a b c   

2 2 1; 1 a b  

           

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 1)( 1) 0 1 0 2 2 4 3 3 3

2 2 3 1 2 2 2 3 1 1 1

a b a b a b a b a b a b

a b a b a b c a b c

             

             

    

2 2 2 2 3 1 1 1 3 9( ) a b c a b c ab bc ca         

DeThi.edu.vn

Dấu “=” xảy ra khi a=b=c=1

Bài 3 Cho a,b,c không âm thỏa mãn . Chứng minh rằng

Lời giải.

Dự đoán điểm rơi

Theo nguyên lí Dirichlet thì 2 trong 3 số có tích không âm.

Không mất tính tổng quát, giả sử

Ta phải chứng minh (1)

Vì

Nên

Từ (1) & (2) ta có Dấu “=” xảy ra khi

( ) 2 2 2 2 ( 2)( 2) 9( ) a b c ab bc ca + + + ³ + +

1 a b c   

9 1 4( ) abc ab bc ca   

1 3 a b c   

( ) ( ) ( ) 3 1 , 3 1 , 3 1 a b c - - -

( )( ) 3 1 3 1 0 9 3 3 1 0 9 1 3( ) 1 a b ab a b abc ac bc c - - ³ Û - - + ³ Û + ³ + - +

( 3( 4 ) ) 1 ab bc ca ac bc c     

2 2 2 1 1 2 2 2 a b c a b c ab bc ca         

 

2 2 2

2 3( ) 1 3( )

3( ) 1 4( ) ( ) c 4( )

3( ) 1 4( )

2 2

(2

2

)

ac bc c ac bc c

ac bc c ab bc ca c a b c a b ab bc ca

ac bc c ab bc

a b c ab bc

c

ca

a

     

            

     

    



9 1 4( ) abc ab bc ca    1 3 a b c   

DeThi.edu.vn