Đề cương ôn tập Hình học Lớp 10 - Chương 3 Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng - Bài 6 Đường hypebol

§6. ĐƯỜNG HYPEBOL

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1.Định nghĩa: Cho hai điểm cố định 1 2 , F F với ( ) 1 2 2 0 F F c c = > và hằng

số a c < .Hypebol là tập hợp các điểm M thỏa mãn 1 2 2 MF MF a - = .

Kí hiệu (H)

Ta gọi : 1 2 , F F là tiêu điểm của (H). Khoảng cách 1 2 2 F F c = là tiêu cự

của (H).

2.Phương trình chính tắc của hypebol:

Với ( ) ( ) 1 2 ;0 , ;0 F c F c -

( ) ( )

2 2

2 2 ; 1 y x M x y H

a b Î Û - = với 2 2 2 b c a = - (2)

Phương trình (2) được gọi là phương trình chính tắc của hypebol

3.Hình dạng và tính chất của (H):

+ Tiêu điểm: Tiêu điểm trái ( ) 1 ;0 F c - , tiêu điểm phải ( ) 2 ;0 F c

+ Các đỉnh : ( ) ( ) 1 2 ;0 , ;0 A a A a -

+ Trục Ox gọi là trục thực, Trục Oy gọi là trục ảo của hypebol. Khoảng cách 2a giữa hai đỉnh gọi là

độ dài trục thực, 2b gọi là độ dài trục ảo.

+ Hypebol gồm hai phần nằm hai bên trục ảo, mỗi phần gọi là nhánh của hypebol

+ Hình chữ nhật tạo bởi các đường thẳng , x a y b = ± = ± gọi là hình chữ nhật cơ sở. Hai đường thẳng

chứa hai đường chéo của hình chữ nhật cơ sở gọi là hai đường tiệp cận của hypebol và có phương trình

là b y x a = ±

+ Tâm sai : 1 c e a = >

+ ( ) ; M M M x y thuộc (H) thì: 1 2 , M M M M c c MF a ex a x MF a ex a x a a = + = + = - = -

B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

DẠNG 1. Xác định các yếu tố của hypebol khi biết phương trình chính tắc của chúng.

1.Phương pháp giải.

Từ phương trình chính tắc của hypebol ta xác định các đại lượng ,a b và 2 2 2 b c a = - ta tìm được c từ đó

ta suy ra được các yếu tố cần tìm.

2. Các ví dụ.

Ví dụ 1.Cho hypebol

2 2

1 6 8 y x - =

a) Xác định tọa độ các đỉnh

x

y

A2 A1 O F1 F2

Hình 3.4

DeThi.edu.vn

A. ( ) ( ) 1 2 8;0 ; 8;0 A A - B. ( ) ( ) 1 2 3;0 ; 3;0 A A -

C. ( ) ( ) 1 2 6;0 ; 6;0 A A - D. ( ) ( ) 1 2 7;0 ; 7;0 A A -

b) Xác định các tiêu điểm

A. ( ) ( ) 1 2 6;0 ; 6;0 F F - B. ( ) ( ) 1 2 10;0 ; 10;0 F F -

C. ( ) ( ) 1 2 8;0 ; 8;0 F F - D. ( ) ( ) 1 2 5;0 ; 5;0 F F -

c); tính tâm sai

A. 8

6 e = B. 4

6 e = C. 10

6 e = D. 5

6 e =

d) tính độ dài trục thực, độ dài trục ảo

A. Độ dài trục thực 2 6 a = , độ dài trục ảo 4 2 b =

B. . Độ dài trục thực 6 a = , độ dài trục ảo 2 2 b =

C. . Độ dài trục thực 6 6 a = , độ dài trục ảo 8 2 b =

D. . Độ dài trục thực 3 6 a = , độ dài trục ảo 6 2 b =

e) viết phương trình các đường tiệm cận của (H)

A. 4

3 y x = ± B. 5

3 y x = ±

C. 3

3 y x = ± D. 2

3 y x = ±

cho hypebol 2 2 5 4 20 x y - =

a) Xác định tọa độ các đỉnh

A. ( ) ( ) 1 2 8;0 ; 8;0 A A - B. ( ) ( ) 1 2 2;0 ; 2;0 A A -

C. ( ) ( ) 1 2 6;0 ; 6;0 A A - D. ( ) ( ) 1 2 7;0 ; 7;0 A A -

b) Xác định các tiêu điểm

A. ( ) ( ) 1 2 3;0 ; 3;0 F F - B. ( ) ( ) 1 2 10;0 ; 10;0 F F -

C. ( ) ( ) 1 2 8;0 ; 8;0 F F - D. ( ) ( ) 1 2 5;0 ; 5;0 F F -

c); tính tâm sai

A. 3 2 e = B. 1 2 e = C. 10

6 e = D. 5

6 e =

d) tính độ dài trục thực, độ dài trục ảo

A. Độ dài trục thực 2 3 a = , độ dài trục ảo 2 2 5 b =

DeThi.edu.vn

B. Độ dài trục thực 2 a = , độ dài trục ảo 5 b =

C. Độ dài trục thực 2 8 a = , độ dài trục ảo 2 7 b =

D. Độ dài trục thực 2 12 a = , độ dài trục ảo 2 14 b =

e) viết phương trình các đường tiệm cận của (H)

A. 1 3 y x = ± B. 7 2 y x = ± C. 2 2 y x = ± D. 5 2 y x = ±

Lời giải:

a) Ta có 2 2 6, 8 a b = = nên 2 2 6, 2 2, 10 a b c a b = = = + =

Do đó ta có hypebol có:

Tọa độ các đỉnh là ( ) ( ) 1 2 6;0 ; 6;0 A A -

Tiêu điểm là ( ) ( ) 1 2 10;0 ; 10;0 F F -

Tâm sai của (H) là 10

6

c e a = =

Độ dài trục thực 2 2 6 a = , độ dài trục ảo 2 4 2 b =

Đường tiệm cận có phương trình là 2

3

b y x x a = ± = ±

b) Viết lại phương trình (H) là:

2 2

1 4 5 y x - = , có 2 2 4, 5 a b = = nên 2 2 2, 5, 3 a b c a b = = = + =

Do đó ta có hypebol có:

Tọa độ các đỉnh là ( ) ( ) 1 2 2;0 ; 2;0 A A -

Tiêu điểm là ( ) ( ) 1 2 3;0 ; 3;0 F F -

Tâm sai của (H) là 3 2 c e a = =

Độ dài trục thực 2 4 a = , độ dài trục ảo 2 2 5 b =

Đường tiệm cận có phương trình là 5 2 y x = ±

DẠNG 2. Viết phương trình chính tắc của hypebol.

1. Phương pháp giải.

Để viết phương trình chính tắc của hypebol ta làm như …