Đề cương ôn tập Hình học Lớp 10 - Chương 3 Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng - Bài 3 Khoảng cách và góc

§3. KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC

1. Khoảng cách từ một điểm tới đường thẳng :

a) Công thức tính khoảng cách từ một điểm tới đường thẳng :

Cho đường thẳng : 0 ax by c D + + = và điểm ( ) 0 0 ; M x y . Khi đó khoảng cách từ M đến ( ) D được tính

bởi công thức:

0 0

2 2 ( ,( )) ax by c d M

a b

+ + D =

+

.

b) Vị trí của hai điểm đối với đường thẳng.

Cho đường thẳng : 0 ax by c + + = V và

2

2 1 9 3 3 0 ; 4 9 4 2 2 m m m

æ ö÷ ç - > Û < Û Î - ÷ ç ÷ ç ÷ è ø

. Khi đó:

- M, N cùng phía với ( )( ) 0 M M N N ax by c ax by c D Û + + + + >

- M, N khác phía với ( )( ) 0 M M N N ax by c ax by c D Û + + + + <

Chú ý: Phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng :

1 1 1 1 : 0 a x b y c D + + = và 2 2 2 2 : 0 a x b y c D + + = là:

D .

2. Góc giữa hai đường thẳng:

a) Định nghĩa: Hai đường thẳng a và b cắt nhau tạo thành bốn góc. Số đo nhỏ nhất của các góc đó được gọi là số đo của góc giữa hai đường thẳng a và b , hay đơn giản là góc giữa

2 2 2 2 6 6 6 6 ; ; ; 9 4 9 4 9 4 9 4

m m B D m m m m

æ ö æ ö - - ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç è ø è ø - - - -

và ' D ^ D . Khi a song song hoặc trùng với b , ta

quy ước góc giữa chúng bằng 0 0 .

b) Công thức xác định góc giữa hai đường thẳng.

Góc xác định hai đường thẳng 2 2 9 4 9 4 1 m m m - = - Û = ± và 1 m = ± có phương trình Oxy và

2 8 y x = được xác định bởi công thức D .

DẠNG 1. Bài toán liên quan đến khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng. 1.Phương pháp giải.

Để tính khoảng cách từ điểm Ox đến đường thẳng Fx ta dùng công thức

Ft

2. Các ví dụ.

Ví dụ 1: Cho đường thẳng D

a) Tính khoảng cách từ điểm ( ) 1;3 A - đến đường thẳng D

DeThi.edu.vn

A. 1

34

B. 2

34

C. 3

34

D. 5

34

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng song song a và ': 5 3 8 0 x y + + = V

A. 13

34

B. 12

34

C. 11

34

D. 15

34

Lời giải:

a) Áp dụng công thức tính khoảng cách ta có:

2 2 5.( 1) 3.3 5 1 ( , )

34 5 3 d B - + - D = = +

b) Do ( ) 1;0 M Î V nên ta có ( )

2 2 5.1 3.0 8 13 ; ' ( , ')

34 5 3 d d M + + D D = D = = +

Ví dụ 2: (ĐH – 2006A): Cho 3 đường thẳng có phương trình

1 2 3 : 3 0; : 4 0; : 2 0 x y x y x y + + = - - = - = V V V

Tìm tọa độ điểm M nằm trên 3 V sao cho khoảng cách từ M đến 1 V bằng 2 lần khoảng cách từ M đến 2 V .

A. ( ) 22; 11 M - - B. ( ) 2;1 M

C. ( ) ( ) 1 2 22; 11 , 2;1 M M - - D. ( ) 0;0 M

Lời giải:

( ) 3 2 ; M M t t Î D Þ

Khoảng cách từ M đến 1 V bằng 2 lần khoảng cách từ M đến 2 V nên ta có

( ) ( ) 1 2

2 3 2 4 ; 2 ; 2 2 2

t t t t d M d M + + - - D = D Û =

( ) ( )

3 3 2 4 11

1 3 3 2 4

t t t

t t t

é é + = - = - ê ê Û Û ê ê = + = - - ê ë ë

Vậy có hai điểm thỏa mãn là ( ) ( ) 1 2 22; 11 , 2;1 M M - -

Ví dụ 3: Cho ba điểm ( ) ( ) 2;0 , 3;4 A B và ( ) 1;1 P . Viết phương trình đường thẳng đi qua P đồng thời

cách đều A và B

A. : 2 3 1 0 x y D - + =

B. MPNQ và 2 : 2 3 21 0 x y D - - =

C. MPNQ và 2 : 2 3 3 0 x y D - + =

DeThi.edu.vn

D. MPNQ và 2 : 2 3 1 0 x y D - + =

Lời giải:

Đường thẳng D đi qua P có dạng : d y x m = + hay 0 ax by a b + - - =

D cách đều A và B khi và chỉ khi

( ) ( )

2 2 2 2 2 3 ; ; a b a b d A d B

a b a b

- + D = D Û = + +

2 3 4 2 3 3 2 a b a b a b b a a b a b

é é - = + = - ê ê Û Û ê ê - = + = - ê ë ë

+ Nếu ABC D , chọn

2 2

1 9 4 y x + = suy ra : 4 3 0 x y D - - =

+ Nếu 3 2 a b = - . chọn 2 D suy ra MPNQ

Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn bài toán là MPNQ và 2 : 2 3 1 0 x y D - + =

Ví dụ 4: Cho tam giác ABC có (1; 2), (5;4), ( 2,0) A B C - - . Hãy viết phương trình đường phân giác trong

góc A.

A. 5x 3 0 y + - = B. 2x 0 y + = C. 3x 1 0 y + - = D. 4x 2 0 y + - =

Lời giải:

Cách 1: Dễ dàng viết đường thẳng AB, AC có phương trình

AB: 3x 2 7 0 y - - = , AC: 1 2 , F F

Ta có phương trình đường phân giác góc A là

1F

Ta thấy 1 AF nên 2 điểm B,C nằm về cùng 1 phía đối với đường thẳng 2F . Vậy 2 ABF : 2 2 4 20 x y - =

là phương trình đường phân giác trong cần tìm.

Cách 2: Gọi : 3 0 x y D - = là chân đường phân giác hạ từ A của tam giác ABC

Ta có AB BD DC AC = uuur uuur

Mà 2 13, 13 AB AC = =

( ) …