Đề cương ôn tập Hình học Lớp 10 - Chương 3 Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng - Bài 2 Phương trình tham số của đường thẳng

§2. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG 1. Vectơ chỉ phương và phương trình tham số của đường thẳng : a. Định nghĩa vectơ chỉ phương :

Cho đường thẳng D . Vectơ 0 u ¹

r r

gọi là vectơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng D nếu giá của nó song song hoặc trùng với D . Nhận xét :

- Nếu u

r

là VTCP của D thì ( ) 0 ku k ¹

r

cũng là VTCP của D .

- VTPT và VTCP vuông góc với nhau. Do vậy nếu D có VTCP ( ; ) u a b = r

thì ( ; ) n b a = - r

là một VTPT của D . b. Phương trình tham số của đường thẳng :

Cho đường thẳng D đi qua 0 0 0 ( ; ) M x y và ( ; ) u a b = r

là VTCP.

Khi đó ( ; ) M x y Î D . 0 0

0

x x at MM tu t R y y bt

ì = + ïï Û = Û Î íï = + ïî

uuuuur r

. (1)

Hệ (1) gọi là phương trình tham số của đường thẳng D , t gọi là tham số Nhận xét : Nếu D có phương trình tham số là (1) khi đó 0 0 ( ; ) A A x at y bt Î D Û + + 2. Phương trình chính tắc của đường thẳng.

Cho đường thẳng D đi qua 0 0 0 ( ; ) M x y và ( ; ) u a b = r

(với 0, 0 a b ¹ ¹ ) là vectơ chỉ phương thì phương

trình 0 0 x x y y a b - - = được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng D .

B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

DẠNG 1: Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng. 1. Phương pháp giải:

• Để viết phương trình tham số của đường thẳng 13 3 ta cần xác định

- Điểm 0 0 ( ; ) A x y Î D

- Một vectơ chỉ phương ( ) ; u a b

r

của D

Khi đó phương trình tham số của D là

2 2

2 2 1 y x a b - = .

• Để viết phương trình chính tắc của đường thẳng 2 2 2 b c a = - ta cần xác định - Điểm 0 0 ( ; ) A x y Î D

- Một vectơ chỉ phương ( ) ; , 0 u a b ab ¹ r

của D

Phương trình chính tắc của đường thẳng 2 2 2 2 2 28 7, 9 b b a c b = Þ = = - = là

2 2

1 9 7 y x - =

(trường hợp 2 2 2 10 25 c a b = Þ + = thì đường thẳng không có phương trình chính tắc) Chú ý:

o Nếu hai đường thẳng song song với nhau thì chúng có cùng VTCP và VTPT. o Hai đường thẳng vuông góc với nhau thì VTCP của đường thẳng này là VTPT của đường thẳng kia và ngược lại

o Nếu 4 3 y x = ± có VTCP 4 3 b a = thì 2 2 16

9 b a = là một VTPT của

2 2 2 2 16 25 9 16 9 a a a b + = Û = Þ = .

2. Các ví dụ:

Ví dụ 1: Cho điểm

2 2

1 9 16

y x - = và 13 3 . Viết phương trình tham số của đường thẳng  trong mỗi trường

hợp sau: DeThi.edu.vn

a)

2 2 13 13 3 3 c a b a a

+ = Û = đi qua A và nhận vectơ ( ) 1;2 n

r

làm vectơ pháp tuyến

A. 2 2 : 3 x t y t

ì = - - ïï D íï = + ïî

B. 1 1 : 3 2 x t y t

ì = - ïï D íï = - + ïî

C. 1 2 : 3 x t y t

ì = - ïï D íï = - - ïî

D. 1 2 : 3 x t y t

ì = - ïï D íï = - + ïî b) D đi qua gốc tọa độ và song song với đường thẳng AB

A. 1 : 2 x t y t

ì = - ïï D íï = ïî

B. 2 : 2

x t

y t

ì = - ïï D íï = ïî

C. 4 : 2

x t

y t

ì = - ïï D íï = ïî

D. : 2 x t y t

ì = - ïï D íï = ïî c) D là đường trung trực của đoạn thẳng AB

A.

1 2 : 2 2

x t

y t

ìïï = - - ï D íïï = ïî

B.

1 : 2 1 2

x t

y t

ìïï = - - ï D íïï = + ïî

C.

1 : 2 3 2

x t

y t

ìïï = - - ï D íïï = + ïî

D.

1 : 2 2

x t

y t

ìïï = - - ï D íïï = ïî Lời giải:

a) Vì D nhận vectơ ( ) 1;2 n

r

làm vectơ pháp tuyến nên VTCP của D là ( ) 2;1 u -

r

.

Vậy phương trình tham số của đường thẳng D là 1 2 : 3 x t y t

ì = - ïï D íï = - + ïî

b) Ta có ( ) 3;6 AB - uuur

mà D song song với đường thẳng AB nên nhận ( ) 1;2 u -

r

làm VTCP

Vậy phương trình tham số của đường thẳng D là : 2 x t y t

ì = - ïï D íï = ïî

c) Vì D là đường trung trực của đoạn thẳng AB nên nhận ( ) 3;6 AB - uuur

làm VTPT và đi qua trung điểm I

của đoạn thẳng AB.

Ta có 1 ;0 2 I

æ ö÷ ç- ÷ ç ÷ ç ÷ è ø

và D nhận ( ) 1;2 u -

r

làm VTCP nên phương trình tham số của đường thẳng D là

1 : 2 2

x t

y t

ìïï = - - ï D íïï = ïî

.

Ví dụ 2: Viết phương trình tổng quát, tham số, chính tắc (nếu có) của đường thẳng  trong mỗi trường hợp sau: a)  đi qua điểm ( ) 3;0 A và ( ) 1;3 B

A. 3 2 6 0 x y + - = B. 3 2 7 0 x y + - = C. 3 2 9 0 x y + - = D. 3 2 8 0 x y + - =

b)  đi qua ( ) 3;4 N và vuông góc với đường thẳng 1 3 ' : 4 5 x t d y t

ì = - ïïíï = + ïî

.

A. 4 3 5 3 y x + - = - B. 4 3 5 3 y x - + = - - C. 4 3 …