Đề cương ôn tập Hình học Lớp 10 - Chương 2 Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng - Bài 3 Hệ thức lượng trong tam giác

§3 HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT. 1. Định lí côsin: Trong tam giác ABC với , BC a AC b = = và AB c = . Ta có :

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 .cos

2 .cos

2 .cos

a b c bc A

b c a ca B

c a b ab C

= + -

= + -

= + - Hệ quả:

2 2 2

2 2 2

2 2 2

cos 2

cos 2

cos 2

b c a A bc c a b B ca a b c C ab

+ - =

+ - =

+ - =

2. Định lí sin : Trong tam giác ABC với , BC a AC b = = , AB c = và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp. Ta có :

2 sin sin sin a b c R A B C = = =

3. Độ dài trung tuyến: Cho tam giác ABC với , , a b c m m m lần lượt là các trung tuyến kẻ từ A, B, C. Ta có :

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2( ) 4 2( ) 4 2( ) 4

a

b

c

b c a m

a c b m

a b c m

+ - =

+ - =

+ - =

4. Diện tích tam giác Với tam giác ABC ta kí hiệu , , a b c h h h là độ dài đường cao lần lượt tương ứng với các cạnh BC, CA, AB; R, r

lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác; 2 a b c p + + = là nửa chu vi tam giác; S là

diện tích tam giác. Khi đó ta có:

S = 1 1 1 2 2 2 a b c ah bh ch = =

= 1 1 1 sin sin sin 2 2 2 bc A ca B ab C = =

= 4

abc

R = pr

= ( )( )( ) p p a p b p c - - - (công thức Hê–rông)

B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

DẠNG 1: Xác định các yếu tố trong tam giác. 1. Phương pháp.

• Sử dụng định lí côsin và định lí sin • Sử dụng công thức xác định độ dài đường trung tuyến và mối liên hệ của các yếu tố trong các công thức tính diện tích trong tam giác. 2. Các ví dụ.

c

a

b

A

B C

Hình 2.6

DeThi.edu.vn

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có 4, 5 AB AC = = và 3 cos 5 A = .

Tính cạnh BC, và độ dài đường cao kẻ từ A.

A. 2 BC = , 29 29 ah = B. 29 BC = , 6 29

29 ah =

C. 29 BC = , 16 29

29 ah = D. 29 BC = , 3 29

29 ah =

Lời giải

Áp dụng định lí côsin ta có 2 2 2 2 2 3 2 . .cos 4 5 2.4.5. 29 5 BC AB AC AB AC A = + - = + - =

Suy ra 29 BC =

Vì 2 2 sin cos 1 A A + = nên 2 9 4 sin 1 cos 1 25 5 A A = - = - =

Theo công thức tính diện tích ta có 1 1 4 . .sin .4.5. 8 2 2 5 ABC S AB AC A = = = (1)

Mặt khác 1 1 . . 29. 2 2 ABC a a S a h h = = (2)

Từ (1) và (2) suy ra 1 16 29 . 29. 8 2 29 a a h h = Þ =

Vậy độ dài đường cao kẻ từ A là 16 29

29 ah =

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn bán kính bằng 3, biết µ µ 0 0 30 , 45 A B = = . Tính độ dài

trung tuyến kẻ từ A

A. 22,547 a m = B. 27,54 a m = C. 19,57 a m = D. 23,547 a m =

Lời giải

Ta có µ µ µ 0 0 0 0 0 180 180 30 45 105 C A B = - - = - - =

Theo định lí sin ta có 0 2 sin 2.3.sin 30 3 a R A = = = , 0 2 2 sin 2.3.sin 45 6. 3 2 2 b R B = = = =

0 2 sin 2.3.sin105 5,796 c R C = = »

Theo công thức đường trung tuyến ta có ( ) ( ) 2 2 2 2

2 2 2 18 5,796 9

23,547 4 4 a

b c a m

+ - + - = » =

Theo công thức tính diện tích tam giác ta có

DeThi.edu.vn

0 1 sin 3 2.5,796sin 30 sin 0,943 2 2 3 3 2 5,796 ABC

bc A S pr bc A r p = = Þ = » » + +

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC. Biết · 5 13 3, 8, cos 26 AB BC AMB = = = .

Tính độ dài cạnh AC và góc lớn nhất của tam giác ABC .

Lời giải

hình 2.7)

8 4 BC BM = Þ = . Đặt AM x =

Theo định lí côsin ta có

· 2 2 2 cos 2 . AM BM AB AMB AM AB + - =

Suy ra

2 5 13 16 9 26 2.4. x

x + - =

2

13 13 20 13 91 0 7 13

13

x x x

x

é = êê Û - + = Û ê = êêë

Theo công thức tính đường trung tuyến ta có

( ) 2 2 2

2 2

2 .

AB AC BC AM AB AC

+ - =

TH1: Nếu ( ) 2 2 2 2 3 8 13 13 7 4

AC x AC + - = Þ = Þ = .

Ta có BC AC AB > > Þ góc A lớn nhất. Theo định lí côsin ta có

2 2 2 9 49 64 1 cos 2 . 2.3.7 7 AB AC BC A AB AC + - + - = = = -

Suy ra 0 98 12' A »

TH2: Nếu ( ) 2 2 2 2 3 8 7 13 49 397 13 13 4 13

AC x AC + - = Þ = Þ =

Ta có BC AC AB > > Þ góc A lớn nhất. Theo định lí côsin ta có

2 2 2 397 9 64 53 13 cos 2 . 397 5161 2.3. 13

AB AC BC A AB AC

+ - + - = = = -

M

A

B C

Hình 2.7

DeThi.edu.vn