Đề cương ôn tập Hình học Lớp 10 - Chương 1 Vectơ - Bài 4 Trục tọa độ và hệ trục tọa độ

§4 TRỤC TỌA ĐỘ VÀ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT :

I.TRỤC TỌA ĐỘ:

1. Định nghĩa: Trục tọa độ (Trục , hay trục số ) là một đường thẳng trên đó ta đã xác định một điểm O và

một vectơ đơn vị i

r

( tức là 1 i = r

)

Điểm O được gọi là gốc tọa độ , vec tơ i

r

được gọi là vectơ đơn vị của trục tọa độ. Kí hiệu (O ; i

r

) hay

' x Ox hoặc đơn giản là Ox

2. Tọa độ của vectơ và của điểm trên trục:

+ Cho vec tơ u

ur

nằm trên trục (O ; i

r

) thì có số thực a sao cho u a i = r ur

với a R Î . Số a như thế được gọi

là tọa độ của vectơ u

uur

đối với trục (O ; i

r

)

+ Cho điểm M nằm trên (O ; i

r

) thì có số m sao cho OM m i = uuur ur

. Số m như thế được gọi là tọa độ của

điểm M đối với trục (O ; i

r

)

Như vậy tọa độ điểm M là trọa độ vectơ OM

uuur

3. Độ dài đại số của vec tơ trên trục :

Cho hai điểm A, B nằm trên trục Ox thì tọa độ của vectơ AB

uuur

kí hiệu là AB và gọi là độ dài đại số của

vectơ AB

uuur

trên trục Ox

Như vậy . AB AB i = uuur r

Tính chất :

+ AB BA = -

+ AB CD AB CD = Û = uuur uuur

+ ; ; ( ; ) : A B C O i AB BC AC " Î + = ur

II. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ

1. Định nghĩa: Hệ trục tọa độ gồm hai trục vuông góc Ox và Oy với hai vectơ đơn vị lần

lượt là ,i j

r r

. Điểm O gọi là gốc tọa độ, Ox gọi

là trục hoành và Oy gọi là trục tung.

i

r

x' x O

Hình 1.30

x

y

H O

M K

Hình 1.31 DeThi.edu.vn

Kí hiệu Oxy hay ( ) ; , O i j

r r

2. Tọa độ điểm, tọa độ vec tơ .

+ Trong hệ trục tọa độ ( ) ; , O i j

r r

nếu u xi yj = + r r r

thì cặp số ( ) ;x y được gọi là tọa độ của vectơ u

r

, kí hiệu

là ( ) ; u x y = r

hay ( ) ; u x y

r

.

x được gọi là hoành độ, y được gọi là tung độ của vectơ u

r

+ Trong hệ trục tọa độ ( ) ; , O i j

r r

, tọa độ của vectơ OM

uuur

gọi là tọa độ của điểm M, kí hiệu là ( ) ; M x y =

hay ( ) ; M x y . x được gọi là hoành độ, y được gọi là tung độ của điểm M.

Nhận xét: (hình 1.31) Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của M lên Ox và Oy thì

( ) ; M x y OM xi yj OH OK Û = + = + uuur r r uuur uuur

Như vậy , OH xi OK yj = = uuur r uuur r

hay , x OH y OK = =

3. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng. Tọa độ trọng tâm tam giác.

+ Cho ( ; ), ( ; ) A A B B A x y B x y và M là trung điểm AB. Tọa độ trung điểm ( ) ; M M M x y của đoạn thẳng

AB là , 2 2

A B A B M M x x y y x y + + = =

+ Cho tam giác ABC có ( ) ( ; ), ( ; ), ; A A B B C C A x y B x y C x y . Tọa độ trọng tâm ( ) ; G G G x y của tam giác

ABC là 3

A B C G

x x x x + + = và 2

A B C G

y y y y + + =

4. Biểu thứ tọa độ của các phép toán vectơ.

Cho ( ; ) u x y = r

; ' ( '; ') u x y = ur

và số thực k. Khi đó ta có :

1) ' ' ' x x u u y y

ì = ïï = Û íï = ïî

r ur

2) ( '; ') u v x x y y ± = ± ± r r

3) . ( ; ) k u kx ky = r

4) ' u

ur

cùng phương u

r

( 0 u ¹

r r

) khi và chỉ khi có số k sao cho ' ' x kx y ky

ì = ïïíï = ïî

5) Cho ( ; ), ( ; ) A A B B A x y B x y thì ( ) ; B A B A AB x x y y = - - uuur

DeThi.edu.vn

B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

DẠNG 1: Tìm tọa độ của một điểm; tọa độ vectơ; độ dài đại số của vectơ và chứng minh hệ

thức liên quan trên trục (O ; i

r

) 1. Phương pháp giải.

Sử dụng các kiến thức cơ bản sau:

• Điểm M có tọa độ . a OM a i Û = uuur r

• Vectơ AB uuur

có độ dài đại số là m AB AB mi = Û = uuur r

• Nếu a, b lần lượt là tọa độ của A, B thì AB b a = - • Các tính chất + AB BA = -

+ AB CD AB CD = Û = uuur uuur

+ ; ; ( ; ) : A B C O i AB BC AC " Î + = ur

2. Các ví dụ.

Ví dụ 1: Trên trục tọa độ (O ; i

r

) cho 3 điểm A ; B ; C có tọa độ lần lượt là

–2 ; 1 và 4.

a) Tính tọa độ các vectơ ; ; AB BC CA uuur uuur uuur

b) Chứng minh B là trung điểm của AC.

Lời giải:

a) Ta có 1 2 3, 3, 6 AB BC CA = + = = = -

b) Ta có 3 BA BC BA BC = - = - Þ = - uuur uuur

suy ra B là trung điểm AC

Ví dụ 2: Trên trục tọa độ (O; i

r

) cho 4 điểm , , , A B C D bất kỳ. Chứng minh

. . . 0 AB CD AC DB AD BC + + =

Lời giải:

Cách 1: Giả sử tọa độ các điểm A, B, C, D lần lượt là a, b, c, d.

Ta có ( )( ) . AB CD b a d c bd ac bc ad = - - = + - -

( )( ) ( )( )

.

.

AC DB c …