Đề cương ôn tập Đại số Lớp 10 - Chương 4 Bất đẳng thức - Bài 7 Bất phương trình bậc hai

§7. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT. 1. Định nghĩa và cách giải Bất phương trình bậc hai (ẩn x ) là bất phương trình có một trong các dạng

( ) 0, ( ) 0, ( ) 0, ( ) 0 f x f x f x f x > < ³ £ , trong đó ( ) f x là một tam thức bậc hai.

Cách giải. Để giải bất phương trình bậc hai, ta áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai. 2. Ứng dụng Giải bất phương trình tích, thương chứa các tam thức bậc hai bằng cách lập bảng xét dấu của chúng

➢DẠNG TOÁN 1: GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 1. Các ví dụ minh họa. Ví dụ 1: Giải các bất phương trình sau:

a) 2 3 2 1 0 x x - + + <

A. 1 ( ; ) 3 S = - ¥ - B. (1; ) S = + ¥

C. 1 ;1 3 S

æ ö÷ ç = - ÷ ç ÷ ç ÷ è ø

D. 1 ( ; ) (1; ) 3 S = - ¥ - È + ¥

b) 2 12 0 x x + - <

A. ( ) S 4;3 = - B. ( ) S ; 4 = - ¥ - C. ( ) S 3; = + ¥ D.S = ¡

c) 2 5 6 5 9 0 x x - + >

A. 3 5 S \ 5

ì ü ï ï ï ï = -í ý ï ï ï ï î þ ¡ B. 3 5 S \ 5

ì ü ï ï ï ï = ± í ý ï ï ï ï î þ ¡ C. 3 5 S \ 5

ì ü ï ï ï ï = í ý ï ï ï ï î þ ¡ D. S = ¡

d) 2 36 12 1 0 x x - + - ³

A. 1 S 6

ì ü ï ï ï ï = ± í ý ï ï ï ï î þ

B. 1 S ; 6

æ ö÷ ç = - ¥ ÷ ç ÷ ç ÷ è ø

C. 1 S 6

ì ü ï ï ï ï = í ý ï ï ï ï î þ

D. 1 S ; 6

æ ö÷ ç = + ¥ ÷ ç ÷ ç ÷ è ø

Lời giải:

a) Tam thức 2 ( ) 3 2 1 f x x x = - + + có 3 0 a = - < và có hai nghiệm 1

1 ; 3 x = - 2 1 x =

( ( ) f x cùng dấu với hệ số a ).

Suy ra 2 1 3 2 1 0 3 x x x - + + < Û < - hoặc 1 x >

DeThi.edu.vn

Vậy tập nghiệm của bất phương trình : 1 ( ; ) (1; ) 3 S = - ¥ - È + ¥ .

b) Tam thức ( )

2 12 f x x x = + - có 1 0 a = > và có hai nghiệm 1 4; x = - 2 3 x =

( ( ) f x trái dấu với hệ số a ).

Suy ra 2 12 0 4 3 x x x + - < Û - < < Vậy tập nghiệm của bất phương trình là ( ) S 4;3 = -

c) Tam thức ( )

2 5 6 5 9 f x x x = - + có 5 0 a = > và 0 D =

( ( ) f x cùng dấu với hệ số a ).

Suy ra 2 3 5 5 6 5 9 0 5 x x x - + > Û ¹

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 3 5 S \ 5

ì ü ï ï ï ï = í ý ï ï ï ï î þ ¡

d) Tam thức ( )

2 36 12 1 f x x x = - + - có 36 0 a = - < và 0 D =

( ) f x trái dấu với hệ số a nên ( ) f x âm với 1 6 x " ¹ và 1 0 6 f

æ ö÷ ç = ÷ ç ÷ ç ÷ è ø

Suy ra 2 1 36 12 1 0 6 x x x - + - ³ Û =

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 1 S 6

ì ü ï ï ï ï = í ý ï ï ï ï î þ

Ví dụ 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm a) 2 3 0 x mx m - + + =

A. ( ; 2] m Î - ¥ - B. [6; ) m Î + ¥

C. 2;6 m é ù Î -ë û D. ( ; 2] [6; ) m Î - ¥ - È + ¥

b) 2 (1 ) 2 2 0 m x mx m + - + =

A. 0 m £ B. 2 m - £ C. 2 0 m - £ £ D. 0

2

m

m

é > êê < - ë

Lời giải: a) Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 0 D ³

( ) 2 2 6 4 3 0 4 12 0 2 m m m m m m

é ³ ê Û - + ³ Û - - ³ Û ê £ - ë

Vậy với ( ; 2] [6; ) m Î - ¥ - È + ¥ thì phương trình có nghiệm b) Với 1 m = - phương trình trở thành 2 2 0 1 x x - = Û = suy ra 1 m = - thỏa mãn yêu cầu bài toán Với 1 m ¹ - phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 0 D ³ ( ) 2 2 2 1 0 2 0 2 0 m m m m m m Û - + ³ Û + £ Û - £ £

Vậy với 2 0 m - £ £ thì phương trình có nghiệm Ví dụ 3: Tìm m để mọi 1;1 x é ù Î -ë û đều là nghiệm của bất phương trình

DeThi.edu.vn

( ) 2 2 3 2 5 2 8 0 x m x m m - + - + + £ (1)

A. ( ; 3] [7; ) m Î - ¥ - È + ¥ B. 1 2 m> -

C. 7 m ³ D. 3 m £ -

Lời giải:

Ta có ( ) 2 2 3 2 5 2 8 0 2 x m x m m x m - + - + + = Û = + hoặc 4

3

m x - =

* Với 4 1 2 3 6 4 3 2 m m m m m - + > Û + > - Û > - ta có

Bất phương trình (1) 4 2 3

m x m - Û £ £ +

Vậy tập nghiệm của bất phương trình (1) là 4 ; 2 3

m m é ù - ê ú + ê ú ë û Suy ra mọi 1;1 x é ù Î -ë û đều là nghiệm của bất phương trình (1)

khi và chỉ khi

4 1 4 1;1 ; 2 3 3 1 2

m m m

m

ì - ïï é ù - ³ - ï é ù ê ú - Ì + Û í ë û ê ú ï ë û ï £ + ïî 7 7 1 m m m

ì ³ ïï Û Û ³ íï ³ - ïî

Kết hợp với điều kiện 1 2 m> - ta có 7 m ³ thỏa mãn yêu cầu bài toán

* Với 4 1 2 3 2 m m m - + < Û < - ta có

Bất phương trình (1) 4 2 3

m m x - Û + £ £

Vậy tập nghiệm của bất phương trình (1) là 4 2; 3

m m é ù - ê ú + ê ú ë û Suy ra mọi 1;1 x é ù Î -ë û đều là nghiệm của bất phương trình (1)

khi và chỉ khi

1 2 4 1;1 2; 4 3 1 3

m m m m

ì - ³ + ïï é ù - ï é ù ê ú - Ì + Û í - ë û ê ú ï £ ë û ïïî 3 3 1

m m m

ì £ - ïï Û Û £ - íï £ …