Đề cương ôn tập Đại số Lớp 10 - Chương 4 Bất đẳng thức - Bài 2 Đại cương về bất phương trình

§2. ĐẠI CƯƠNG VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.

1. Định nghĩa bất phương trình một ẩn

Cho hai hàm số ( ) y f x = và ( ) y g x = có tập xác định lần lượt là D f và Dg . Đặt D f g D D = Ç . Mệnh

đề chứa biến có một trong các dạng ( ) ( ) f x g x < , ( ) ( ) f x g x > , ( ) ( ) f x g x £ , ( ) ( ) f x g x ³ được gọi là

bất phương trình một ẩn ; x được gọi là ẩn số (hay ẩn) và D gọi là tập xác định của bất phương trình.

0x D Î gọi là một nghiệm của bất phương trình ( ) ( ) f x g x < nếu ( ) ( ) 0 0 f x g x < là mệnh đề đúng.

Giải một bất phương trình là tìm tất cả các nghiệm(hay tìm tập nghiệm) của bất phương trình đó.

Chú ý : Trong thực hành, ta không cần viết rõ tập xác đinh D của bất phương trình mà chỉ cần nêu điều kiện để x D Î . Điều kiện đó gọi là điều kiện xác định của bất phương trình, gọi tắt là điều kiện của bất

phương trình.

2. Bất phương trình tương đương, biến đổi tương đương các bất phương trình.

a) Định nghĩa: Hai bất phương trình (cùng ẩn) được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.

Kí hiệu: Nếu ( ) ( ) 1 1 f x g x < tương đương với ( ) ( ) 2 2 f x g x < thì ta viết ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 f x g x f x g x < Û <

• Phép biến đổi không làm thay đổi tập nghiệm của phương trình gọi là phép biến đổi tương đương.

b) Định lý và hệ quả:

Định lý 1: Cho bất phương trình ( ) ( ) f x g x < có tập xác định D; ( ) y h x = là hàm số xác định trên D.

Khi đó trên D, Bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình sau

( ) ( ) ( ) ( ) 1) f x h x g x h x + < +

( ) ( ) ( ) ( ) 2) . . f x h x g x h x < nếu ( ) 0 h x > với mọi x D Î

( ) ( ) ( ) ( ) 3) . . f x h x g x h x > nếu ( ) 0 h x < với mọi x D Î

Hệ quả: Cho bất phương trình ( ) ( ) f x g x < có tập xác định D. Khi đó

( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 1) f x g x f x g x < Û <

( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2) f x g x f x g x < Û < với ( ) ( ) 0, 0 f x g x ³ ³ , x D " Î

Lưu ý: Khi giải phương trình ta cần chú ý

• Đặt điều kiện xác định (đkxđ) của phương trình và khi tìm được nghiệm của phương trình phải đối chiếu với điều kiện xác định. • Đối với việc giải bất phương trình ta thường thực hiện phép biến đổi tương đương nên cần lưyu ý tới điều kiện để thực hiện phép biến đổi tương đương đó.

B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

DẠNG TOÁN 1: TÌM ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH.

1. Phương pháp giải.

DeThi.edu.vn

- Điều kiện xác định của bất phương trình bao gồm các điều kiện để giá trị của ( ) ( ) , f x g x cùng được

xác định và các điều kiện khác (nếu có yêu cầu trong đề bài)

- Điều kiện để biểu thức

• ( ) f x xác định là ( ) 0 f x ³

• ( )

1 f x

xác định là ( ) 0 f x ¹

• ( )

1

f x

xác định là ( ) 0 f x >

2. Các ví dụ điển hình.

Ví dụ 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình sau:

a) 2

5 1 4 9 x

x + < -

A. 3 2 x ¹ ± B. 3 \ 2

ì ü ï ï ï ï í ý ï ï ï ï î þ ¡ C. 3 2 x = D. ¡

b) 2

1 4 2

2 1 x x

x x + - ³

- -

A.

2

1 2

x

x

ì £ ïïíï ¹ - ïî

B.

2

1 2

x

x

ì > ïïíï ¹ - ïî

C. 2 x £ D. 1 2 x ¹ -

Lời giải:

a) Điều kiện xác định của bất phương trình là 2 2 9 3 4 9 0 4 2 x x x - ¹ Û ¹ Û ¹ ±

b) Điều kiện xác định của bất phương trình là

2

2 2 4 2 0

2 1 0 1 2 1 2

x x x

x x x x

ì ì ì £ £ ï ï - ³ ï ï ï ï Û Û í í í ï ï ï - - ¹ ¹ ± ¹ - ï ï ï î î î

Ví dụ 2: Tìm điều kiện xác định của bất phương trình sau rồi suy ra tập nghiệm của nó:

a) 2 3 2 3 3 x x x + - ³ - +

b) 2 3 4 4 27 3 x x x - + - £ -

c) 1 1 2 2 2 x

x x + < + - -

d) ( ) ( ) 2 1 3 4 5 4 3 7 x x x x - - - > - -

Lời giải:

a) Điều kiện xác định của bất phương trình là 3 0 3 3 3 0 3 x x x x x

ì ì - ³ ³ ï ï ï ï Û Û = í í ï ï - ³ £ ï ï î î

DeThi.edu.vn