Đề cương ôn tập Đại số Lớp 10 - Chương 3 Phương trình và hệ phương trình - Bài 5 Một số ví dụ về hệ phương trình bậc hai hai ẩn

§5. MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN

➢DẠNG TOÁN 1: HỆ GỒM MỘT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ MỘT BẬC HAI . 1. Phương pháp giải.

Sử dụng phương pháp thế • Từ phương trình bậc nhất rút một ẩn theo ẩn kia.

• Thế vào phương trình bậc hai để đưa về phương trình bậc hai một ẩn. • Số nghiệm của hệ tuỳ theo số nghiệm của phương trình bậc hai này. 2. Các ví dụ minh họa.

Ví dụ 1: Tìm số nghiệm của các hệ phương trình sau

a)

2 4

2 5 0

y x x

x y

ìï + = ïíï + - = ïî

A.1 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm

b) 3 4 1 0 3( ) 9 x y xy x y

ì - + = ïïíï = + - ïî

A.1 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm

Lời giải:

a) Hệ phương trình tương đương

2 5 2 4 5 2 x x x y x

ìï - + = ïíï = - ïî

2 1 1 6 5 0 5 3 5 2 5 2

x x x x x y y x y x

ì é ï = ï ì ê ì ï = ï ï - + = ï ï ï ê Û Û Û = í í í ë ï ï ï = = - ï ï ïî î ï = - ïî

hoặc 5

5

x

y

ì = ïïíï = - ïî

Vậy hệ phương trình có nghiệm ( ) ;x y là ( ) 1;3 và ( ) 5; 5 - .

b) Hệ phương trình tương đương

4 1 3 4 1 4 1 3( ) 9 3 3

y x

y y y y

ì - ïï = ïïïíï - - ï = + - ïïïî

2

4 1 4 1 11 3 3 3 3 3 4 22 30 0 5 2

y x y x x y

y y y y

ì - ïï = ï ì ì ï - ï ï ï ï ï = = ï ï ï ï ï é Û Û Û = í í í ê ï ï ï ï ï ï ê = - + = ï ï ïî ïî ï ê = ï ê ï ë ïî

hoặc

3 5 2

x

y

ì = ïïïíï = ïïî

Vậy hệ phương trình có nghiệm ( ) ;x y là 11;3 3

æ ö÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø

và 5 3; 2

æ ö÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø

.

Nhận xét: Từ cách giải của hệ phương trình trên ta thấy rằng nếu một hệ phương trình hai ẩn mà có một phương trình bậc nhất hai ẩn(hoặc có thể biểu diễn ẩn này qua ẩn kia) thì ta dùng phương pháp thế.

DeThi.edu.vn

Ta xét ví dụ sau:

Ví dụ 2: Tìm số nghiệm của các hệ phương trình sau

a)

3 2 2 3 x xy x y

ìï = + ïíï - = ïî

A.1 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm

b) 2

2

( 1) 3 0 5 ( ) 1 0

x x y

x y

x

ì + + - = ïïïíï + - + = ïïî

A.1 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm

Lời giải:

a) Hệ phương trình tương đương với ( ) 3 2 3 2

2 3

x x x

y x

ìï = - + ïíï = - ïî

( )( ) 2 1 2 0 1

1 2 3

x x x x

y y x

ìï ì - - + = = ï ïï ï Û Û í í ï ï = - = - ï ïî ïî

Vậy hệ phương trình có nghiệm ( ) ;x y là ( ) 1; 1 - .

b) ĐKXĐ: 0 x ¹

Hệ phương trình tương đương với 2

2

3 1

3 5 1 1 0

x y x

x x

ìïï + = - ïïïí æ ö ïï ÷ ç - - + = ÷ ï ç ÷ ï ç ÷ è ø ïî

2 2 2

3 3 1 3 1 1

1 9 6 5 1 1 0 3 2 0 2

y x x y y x x x x x x x x x x x

ìï ìï ï ì = - - ï ï ï + = - ï ï ï = - - ï ï ï ï ï Û Û Û í í í é = ï ï ï ï ï ï ê - + - + = - + = ï ï ï ïî ê ï ï = ïî ï ë î

1

1

x

y

ì = ïï Û íï = ïî

và

2

3 2

x

y

ì = ïïïíï = - ïïî

(thỏa mãn)

Vậy hệ phương trình có nghiệm ( ) ;x y là ( ) 1;1 và 3 2; 2

æ ö÷ ç - ÷ ç ÷ ç ÷ è ø

.

3. Bài tập luyện tập.

Bài 3.54: Tìm số nghiệm của các hệ phương trình sau

DeThi.edu.vn

a) 2 2 2 5

4 17

x y

x y

ì + = ïïíï + = ïî

A.1 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm

b)

3 16

3 8

x y

x y

ìï = ïíï + = ïî

A.1 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm

c)

3 3

2 2 8 2

3 3( 1)

x x y y

x y

ìï - = + ïíï - = + ïî

A.1 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm

Lời giải:

Bài 3.54: a) Ta có 5 2 y x = - thế vào phương trình hai ta được:

2 2 2

2 1 4 (5 2 ) 17 2 5 2 0 1 4 2

x y x x x x

x y

é = Þ = êê + - = Û - + = Û ê = Þ = êë

.

Vậy nghiệm của hệ là: 1 ( ; ) (2;1),( ;4) 2 x y = .

b) Ta có 8 3x y = - thay vào phương trình đầu ta được:

3 4 3 (8 3 ) 16 3 8 16 0 x x x x - = Û - + = 2 2 ( 2) (3 4 4) 0 x x x Û - + + =

2 x Û = . Vậy hệ có nghiệm là 2 x y = = .

c) Từ phương trình 2 2 2 3( 2) x y Þ = + (3) thay vào phương trình 1 ta được :

2 3 2 2 2 0 8 ( 2) (3x 24) 0 3x 24 3

x x x x y y y x xy

y x

é = êê - = + = Û - - = Û - ê = êë

* Với 0 x = thay vào (3) ta có: 2 2 0 y + = vô nghiệm.

* Với

2 3x 24 y x

- = thay vào (3) ta được:

2 2 2 3x 24 3 6 x x

æ ö - ÷ ç ÷ = + ç ÷ ç ÷ çè ø

4 2 13 213 864 0 x x Û - + =

2

2

3 1 9

96 96 78 13 13 13

x y x

x x y

é é = ± Þ = ± = ê ê ê ê Û Û ê ê = = ± Þ = ê êë ë

m

.

DeThi.edu.vn