Đề cương ôn tập Đại số Lớp 10 - Chương 3 Phương trình và hệ phương trình - Bài 3, Phần 1 Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối

§3. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HOẶC BẬC HAI

➢DẠNG TOÁN 1: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 1. Phương pháp giải.

• Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối(GTTĐ) ta tìm cách để khử dấu GTTĐ, bằng cách: – Dùng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ. – Bình phương hai vế. – Đặt ẩn phụ. • Phương trình dạng ( ) ( ) f x g x = ta có thể giải bằng cách biến đổi tương đương như sau

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x f x g x f x g x

é = ê = Û ê = - êë

hoặc 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x f x g x = Û =

2. Các ví dụ minh họa.

Ví dụ 1: Tìm số nghiệm của các phương trình sau

a) 2 2 1 3 4 x x x + = - - .

A.1 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm

b) 3 2 3 2 x x - = -

A.1 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm

c) 2 4 5 4 17 x x x - - = -

A.1 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm

d) 2 2 5 2 7 5 0 x x x - + - + =

A.1 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm

Lời giải:

a) Phương trình ( )

2 2

2 2 2 1 3 4 5 5 0

3 0 2 1 3 4

x x x x x

x x x x x

é é + = - - - - = ê ê Û Û ê ê - - = + = - - - ê ê ë ë

5 45 2 1 13 2

x

x

é ± ê = ê Û êê ± = êêë

Vậy phương trình có nghiệm là 5 45 2 x ± = và 1 13 2 ± .

b) Cách 1: Với 3 3 2 0 2 x x - < Û > ta có 0, 0 VT VP ³ < suy ra phương trình vô nghiệm

Với 3 3 2 0 2 x x - ³ Û £ khi đó hai vế của phương trình không âm suy ra

Phương trình ( ) 2 2 2 2 3 2 3 2 9 12 4 4 12 9 x x x x x x Û - = - Û - + = - +

DeThi.edu.vn

2 5 5 1 x x Û = Û = ± (thỏa mãn)

Vậy phương trình có nghiệm là 1 x = ± .

Cách 2: Với 2 3 2 0 3 x x - ³ Û ³ : Phương trình tương đương với

3x 2 3 2x 5x 5 1 x - = - Û = Û = (thỏa mãn)

Với 2 3 2 0 3 x x - < Û < : Phương trình tương đương với

( ) 3x 2 3 2x x 1 - - = - Û = - (thỏa mãn)

Vậy phương trình có nghiệm là 1 x = ± .

c) Với 17 4 17 0 4 x x - < Û < ta có 0, 0 VT VP ³ < suy ra phương trình vô nghiệm

Với 17 4 17 0 4 x x - ³ Û ³ khi đó hai vế của phương trình không âm suy ra

Phương trình ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 4 5 4 17 4 5 4 17 x x x x x x Û - - = - Û - - = -

( )( )

2 2 2

2

2 8 12 0 6 8 12 22 0 22 0

22

x x x x x x x x

x

é é = ê ê é - + = ê ê ê = Û - + - = Û Û ê ê ë ê - = ê êë = ± êë

Đối chiếu với điều kiện 17

4 x ³ thấy chỉ có 6 x = và 22 x = thỏa mãn

Vậy phương trình có nghiệm là 6 x = và 22 x = .

d) Ta có 2 2 5 0, 2 7 5 0 x x x - ³ - + ³ suy ra

2 2 5 2 7 5 0 x x x - + - + ³ .

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 2

5 2 2 5 0 5 1 2 7 5 0 2 5 2

x x x x x x

x

ìïï = ïï ì - = ï ï ï ï é = Û Û = í í ê ï ï - + = ï ï ê î ï ê ï = ï ê ïî ë

.

Vậy phương trình có nghiệm là 5 2 x = .

Nhận xét: Đối với phương trình dạng ( ) ( ) f x g x = (*) ta có thể biến đổi tương đương như sau

DeThi.edu.vn

2 2

( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

g x g x f x g x f x g x f x g x f x g x

ì ³ ïï ì ³ ï ï ï ï é = = Û Û í í ê ï ï = ï ï ê î = - ï ê ïî ë

Hoặc

( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0

f x g x f x f x g x f x g x f x

éì = ïï êí êï ³ ï êî = Û êì - = ïêïíêï < êïëî

Ví dụ 2: Tìm số nghiệm của các phương trình sau

a) ( )

2 1 3 1 2 0 x x + - + + =

A.1 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm

b) ( ) 4 1 2 1 1 x x x - = - +

A.1 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm

c)

( )

2 2

2 9 2 2 1 2 7 1 1

x x x x x x

- - + + = + - -

A.4 nghiệm B.6 nghiệm C.8 nghiệm D.10 nghiệm

Lời giải:

a) Đặt 1 , 0 t x t = + ³ .

Phương trình trở thành 2 1 3 2 0 2 t t t t

é = ê - + = Û ê = êë

Với 1 t = ta có 0 1 1 1 1 2 x x x x

é = ê + = Û + = ± Û ê = - êë

Với 2 t = ta có 1 1 2 1 2 3

x x x x

é = ê + = Û + = ± Û ê = - êë

Vậy phương trình có nghiệm là 3, 2, 0 x x x = - = - = và 1 x =

b) Phương trình tương đương với 2 4 4 2 1 1 0 x x x - - - - =

Đặt 2 2 2 2 2 1 , 0 4 4 1 4 4 1 t x t t x x x x t = - ³ Þ = - + Þ - = - .

Phương trình trở thành 2 2 1 1 1 0 2 0 2 t t t t t t

é = - ê - - - = Û - - = Û ê = êë

DeThi.edu.vn