Đề cương ôn tập Đại số Lớp 10 - Chương 3 Phương trình và hệ phương trình - Bài 2 Phương trình bậc nhất và bậc hai một ẩn

§2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI MỘT ẨN

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT. 1. Định nghĩa.

• Phương trình bậc nhất một ẩn là phương trình có dạng 0 ax b + = với ,a b là số thực và 0 a ¹ • Phương trình bậc hai một ẩn phương trình có dạng 2 0 ax bx c + + = với , , a b c là số thực và 0 a ¹ 2. Giải và biện luận phương trình 0 ax b + = (1).

• Nếu 0 a ¹ : ( ) 1 b x a Û = - do đó phương trình có nghiệm duy nhất b x a = -

• Nếu 0 a = : phương trình (1) trở thành 0 0 x b + = Th1: Với 0 b = phương trình nghiệm đúng với mọi x R Î Th2: Với 0 b ¹ phương trình vô nghiệm 3. Giải và biện luận phương trình 2 0 ax bx c + + = • Nếu 0 a = : trở về giải và biện luận phương trình dạng (1) • Nếu 0 a ¹ : 2 4 b ac D = -

Th1: 0 D > phương trình có hai nghiệm phân biệt 2 b x a - ± D =

TH2: 0 D = phương trình có nghiệm kép 2

b x a = -

Th3: 0 D < phương trình vô nghiệm. 4. Định lí Vi-ét và ứng dụng. a) Định lí Vi-ét. Hai số 1x và 2x là các nghiệm của phương trình bậc hai 2 0 ax bx c + + = khi và chỉ khi chúng thỏa mãn

hệ thức 1 2

b x x a + = - và 1 2

c x x a = .

b) Ứng dụng.

• Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai • Phân tích thành nhân tử: Nếu đa thức ( ) 2 f x ax bx c = + + có hai nghiệm 1x và 2x thì nó có thể

phân tích thành nhân tử ( ) ( )( ) 1 2 f x a x x x x = - - .

• Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng: Nếu hai số có tổng là S và tích là P thì chúng là nghiệm của phương trình 2 0 x Sx P - + = . • Xét dấu của các nghiệm phương trình bậc hai:

Cho phương trình bậc hai 2 0 ax bx c + + = (*), kí hiệu S , b c P a a = - = khi đó

+ Phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi 0 P <

+ Phương trình (*) có hai nghiệm dương khi và chỉ khi

0 0 0 P S

ì D ³ ïïïï > íïïï > ïî

+ Phương trình (*) có hai nghiệm âm khi và chỉ khi

0 0 0 P S

ì D ³ ïïïï > íïïï < ïî B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

➢DẠNG TOÁN 1: GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH DẠNG 0 ax b + = . 1. Phương pháp giải. Để giải và biện luận phương trình dạng 0 ax b + = ta dựa vào kết quả đã nêu ở trên. Lưu ý:

• Phương trình 0 ax b + = có nghiệm 0

0 a a b

é ¹ ê Û ê = = ë

DeThi.edu.vn

• Phương trình 0 ax b + = vô nghiệm 0

0

a

b

ì = ïï Û íï ¹ ïî

• Phương trình 0 ax b + = có nghiệm duy nhất 0 a Û ¹

2. Các ví dụ minh họa. Ví dụ 1: Giải và biện luận phương trình sau với m là tham số. a) ( ) 1 2 0 m x m - + - =

A. 1 m = : Phương trình vô nghiệm

B. 1 m ¹ : Phương trình có nghiệm duy nhất 2 1 m x m

- = - C.Cả A, B đều đúng D.Cả A, B đều sai b) ( ) 1 9 3 m mx x - = +

A. 3 m = : Phương trình vô nghiệm B. 3 m = - : Phương trình nghiệm đúng với mọi x R Î

C. 3 m ¹ ± : Phương trình có nghiệm 1

3 x m = - D. Cả A, B, C đều đúng

c) 2 ( 1) (3 7) 2 m x m x m + = + + + A. 3 m = : Phương trình vô nghiệm B. 2 m = - : Phương trình nghiệm đúng với mọi x R Î

C. 3 m ¹ và 2 m ¹ - : Phương trình có nghiệm 1

3 x m = - D.Cả A, B, C đều đúng

Lời giải: a) Phương trình tương đương với ( ) 1 2 m x m - = -

+ Với 1 0 1 m m - = Û = : Phương trình trở thành 0 1 x = - Suy ra phương trình vô nghiệm.

+ Với 1 0 1 m m - ¹ Û ¹ : Phương trình tương đương với 2 1 m x m

- = -

Kết luận

1 m = : Phương trình vô nghiệm

1 m ¹ : Phương trình có nghiệm duy nhất 2 1 m x m

- = - b) Ta có ( ) ( ) 2 1 9 3 9 3 m mx x m x m - = + Û - = +

+ Với 2 9 0 3 m m - = Û = ± : • Khi 3 : m = Phương trình trở thành 0 6 x = suy ra phương trình vô nghiệm • Khi 3 m = - : Phương trình trở thành 0 0 x = suy ra phương trình nghiệm đúng với mọi x R Î

+ Với 2 9 0 3 m m - ¹ Û ¹ ± : Phương trình tương đương với 2

3 1

3 9 m x m m

+ = = - -

.

Kết luận:

3 m = : Phương trình vô nghiệm

3 m = - : Phương trình nghiệm đúng với mọi x R Î

3 m ¹ ± : Phương trình có nghiệm 1

3 x m = - c) Phương trình tương đương với 2 ( 1) 3 7 2 m m x m é ù + - - = + ê ú ë û ( ) 2 6 2 m m x m Û - - = +

DeThi.edu.vn