Đề cương ôn thi THPT Quốc gia môn Toán - Chủ đề 2 Cực trị của hàm số

CHỦ ĐỀ 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Nhóm biên tập (nhóm 2): Trần Huy Thụy; Vũ Thị Bích Hạnh; Nguyễn Thị Minh Thạch

I. Kiến thức cơ bản

1. Định nghĩa

Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên (a; b) (có thể a là - ; b là +), điểm x0  (a; b).

Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) < f(x0) với mọi x  (x0 - h; x0 + h) và x  x0 thì ta nói hàm số f(x) đạt cực đại tại x0.

Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f(x0) với mọi x  (x0 - h; x0 + h) và x  x0 thì ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x0.

*Chú ý: +Nếu hàm số f(x) đạt cực đại (cực tiểu) tại x0 thì x0 được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số; f(x0) gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, ký hiệu là f CĐ, f CT; Điểm M(x0;f(x0)) gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.

+ Các điểm cực đại và cực tiểu gọi chung là điểm cực trị, giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) gọi là cực đại (cực tiểu) gọi chung là cực trị của hàm số.

+ Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a ; b) và đạt cực đại hoặc cực tiểu tại x0 thì f’(x0) = 0.

2. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị

* Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng K = (x0 – h; x0 + h) và có đạo hàm trên K hoặc trên

K \ {x0}, với h > 0.

Nếu thì x0 là một điểm cực đại của hàm số y = f(x).

x

f’(x) + -

f(x)

Nếu thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số y = f(x).

x

f’(x) - +

f(x)

* Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp 2 trong khoảng K = (x0 – h; x0 + h), với h > 0. Khi đó:

+ Nếu f’(x) = 0 và f''(x0) > 0 thì x0 là điểm cực tiểu.

+ Nếu f’(x) = 0 và f''(x0) < 0 thì x0 là điểm cực đại.

       

0 0 0

0 0 0

' 0, ; ' 0, ; f x x x h x f x x x x h          

 0 x h 0 x  0 x h

       

0 0 0

0 0 0

' 0, ;

' 0, ;

f x x x h x

f x x x x h

         

 0 x h 0 x  0 x h

fCT

fCĐ

DeThi.edu.vn

3. Quy tắc tìm cực trị.

* Quy tắc I:

+ Tìm tập xác định.

+ Tính f’(x). Tìm các điểm tại đó f’(x) bằng không hoặc không xác định.

+ Lập bảng biến thiên. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

* Quy tắc II

+ Tìm tập xác định.

+ Tính f’(x). Giải pt f’(x) = 0. Ký hiệu xi (i = 1, 2…) là các nghiệm của nó (nếu có)

+ Tính f’’(x) và f’’(xi). Dựa vào dấu của f’’(x) suy ra tính chất cực trị của điểm xi.

4. Các dạng toán thường gặp

- Dạng 1. Tìm cực trị của hàm số, đồ thị hàm số cho trước.

- Dạng 2. Điều kiện để hàm số đạt cực trị

* CHÚ Ý:

- Điều kiện để hàm số bậc ba có cực trị là phương trình có hai nghiệm phân biệt

- Xét hàm số trùng phương

+ Hàm số có ba cực trị Phương trình y/ = 0 có 3 nghiệm phân biệt (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0

+ Hàm số có một cực trị có nghiệm kép hoặc vô nghiệm hoặc có nghiệm

- Hàm phân thức hữu tỉ không có cực trị

5. Sử dụng máy tính bỏ túi

* Bài toán 1: Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục trên khoảng và có đạo hàm trên

Tìm điểm cực trị của hàm số.

Thao tác bấm máy:

+ Dùng tổ hợp chức năng và để dò nghiệm của

+ Dùng chức năng để kiểm tra là điểm cực đại hay cực tiểu.

Chú ý:

+ Nếu và đổi dấu từ dương sang âm khi qua thì là điểm cực đại của hàm số.

+ Nếu và đổi dấu từ âm sang dương khi qua thì là điểm cực tiểu của hàm số.

* Bài toán 2: Cho hàm số y = f(x, m) (với m là tham số) xác định, liên tục trên khoảng , và có đạo hàm trên Tìm m để hàm số đạt cực đại (cực tiểu) tại .

 y' 0 

  2 b 3ac 0

4 , 0 y ax bx c a = + + ¹

3 2

2

0 4 2 2 (2 ), 0

2 0 (1)

x y ax bx x ax b y

ax b

é = ê ¢ ¢ = + = + = Û ê + = êë Û Û 0 ab Û <

(1) Û 0 x = 0 0 ab b

é > ê Û ê = ë

ax+b ( 0) y ad bc cx d    

( ;b). a

( ;b). a

 

0 ( )

x x

d f x dx 

CALC 0x '( ) 0. f x 

CALC 0x

0 '( ) 0 f x  '( ) f x 0x 0x

K . K 0 0 , ( ) x x x K  

DeThi.edu.vn