Chuyên đề Toán học 12 - Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit luyện thi THPT Quốc gia

CHUYÊN ĐỀ II:

HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LÔGARIT

Chủ đề 2.1:Lũy thừa, mũ, logarit

A. Kiến thức cơ bản

I. Lũy thừa

1. Định nghĩa lũy thừa

Số mũ  Cơ số a Lũy Thừa a

* N n    a  R . ...... n a a a a a   (n thừa số a)

0   0  a 1 0  a a

) ( * N n n     0  a n n

a a a 1    

) , ( * N n Z m n m     0  a ) ( a b b a a a a n n n m n m

     

* lim ( , ) n n r r Q n N    0  a nr a a lim  

2. Tính chất của lũy thừa

• với mọi a > 0, b > 0 ta có :



           

    

b a b a b a ab a a a a a a a a              ; . ) ( ; ) ( ; ; . .

• a > 1 : a a       ; 0 < a < 1 : a a        • Với 0 < a < b ta có :

0 m m a b m    ; 0 m m a b m    Chú ý: + Khi xét lũy thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0 + Khi xét lũy thừa với số mũ không nguyên thì cơ số a phải dương 3. Định nghĩa và tính chất của căn bậc n

• Căn bậc n (n  N*, ) của a là số b sao cho n b a  . • nếu n là số nguyên dương lẻ thì n a xác định a , nếu n là số nguyên dương chẵn thì n a xác định 0 a

• n là số nguyên dương lẻ   n n a a a , n là số nguyên dương chẵn      

a 0 a<0

n n a a a a

• Với a, b  0, m, n  N*, p, q  Z ta có :

DeThi.edu.vn

. n n n ab a b  ; ( 0) n n

n a a b b b   ;  ( 0) p n p n a a a   ; m n mn a a 

• Nếu n là số nguyên dương lẻ và a < b thì n n a b  .

Nếu n là số nguyên dương chẵn và 0 < a < b thì n n a b  . II. LÔGARIT

1.Định nghĩa

• Với a > 0, a  1, b > 0 ta có :      loga b a b

chú ý : loga b có nghĩa khi 0, 1 0 a a b    

• Loogarit thập phân : 10 lg log log b b b  

• Loogarit tự nhiên (logarit Nepe): ln loge b b  (vôùi 1 lim 1 2,718281

n e n          )

2. Tính chất

• log 1 0 a  ; log 1 a a ; log b a a b  ; log ( 0) a b a b b  

• Cho a > 0, a  1, b, c > 0. Khi đó :

+ Nếu a > 1 thì log log a a b c b c   

+ Nếu 0 < a < 1 thì log log a a b c b c   

3. Các qui tắc tính logarit

Với a > 0, a  1, b, c > 0, ta có :

• log ( ) log log a a a bc b c   • log log log a a a b b c c        • log log a a b b   

4. Đổi cơ số

Với a, b, c > 0 và a, b  1, ta có :

• log log log

a b

a

c c b  hay log .log log a b a b c c 

• 1 log log a

b b a  • 1 log log ( 0) a a c c     

B. Kĩ năng cơ bản:

DeThi.edu.vn

- Tìm điều kiện và rút gọn biểu thức - Đưa biểu thức về dạng lũy thừa - So sánh lũy thừa - Tính giá trị biểu thức logarit theo các biểu thức đã cho - Chứng minh đẳng thức C. Bài tập luyện tập

Bài 1 Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa

a)    4 2 3 , 0 x x x b)   5 3 , , 0 b a a b a b  c) 5 3 2 2 2

Bài 2 Tìm điều kiện và rút gọn các biểu thức sau

a)

1,5 1,5

0,5 0,5

0,5 0,5 0,5

0,5 0,5 2 a b a b b a b

a b a b

     

b)

1 1 1 1 3 1 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 2 2 2 2

2 . x y x y x y y x y x y xy x y xy x y

                 

c)

3 3

6 6 a b

a b





(a,b>0 , a ≠ b)

Bài 3 So sánh m và n

a)     2 2 m n  b) 1 1 9 9

m n             

Bài 4 Tìm điều kiện của a và x biết

a)     2 1 3 3 1 1 a a      b)

       

0,2

2 1 a a

c) 5 4 1024 x  d)

1 5 2 8 2 5 125

x       

e) 0,1 100 x  f) 3 1 0,04 5

x      

Bài 5. Rút gọn biểu thức :

a) 3 loga a (a > 0) b )

3 4 1/3

7 1

log .log

log

a a

a

a a

a

( 0 1 a  )

Bài 6: Tính giá trị biểu thức logarit theo các biểu thức đã cho : a) Cho 2 log 14 a  . Tính 49 log 32 theo a.

b) Cho 15 log 3 a  . Tính 25 log 15 theo a.

DeThi.edu.vn