Chuyên đề Toán học 12 - Bài 1 Nguyên hàm tích phân ôn thi THPT quốc gia

CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN LUYỆN THI THPT QUỐC GIA

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

1. Định nghĩa Cho f là hàm số liên tục trên đoạn [ ; ]. a b Giả sử F là một nguyên hàm của f trên [ ; ]. a b Hiệu số ( ) ( ) F b F a  được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [ ; ] a b của hàm số ( ), f x kí

hiệu là ( ) .

b

a

f x dx 

Ta dùng kí hiệu ( ) ( ) ( ) b a F x F b F a   để chỉ hiệu số ( ) ( ) F b F a  . Vậy ( ) ( ) ( ) ( )

b

b a a

f x dx F x F b F a     .

Nhận xét: Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể kí hiệu bởi ( )

b

a

f x dx  hay ( ) .

b

a

f t dt  Tích phân đó

chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số.

Ý nghĩa hình học của tích phân: Nếu hàm số f liên tục và không âm trên đoạn [ ; ] a b thì tích phân

( )

b

a

f x dx  là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số ( ) y f x  , trục Ox và hai đường

thẳng , . x a x b   Vậy ( ) .

b

a S f x dx 

2. Tính chất của tích phân

1. ( ) 0

a

a

f x dx   2. ( ) ( )

b a

a b f x dx f x dx   

3. ( ) ( ) ( )

b c c

a b a f x dx f x dx f x dx      ( a b c   )4. . ( ) . ( ) ( )

b b

a a k f x dx k f x dx k     ¡

5. [ ( ) ( )] ( ) ( )

b b b

a a a f x g x dx f x dx g x dx       .

B. KỸ NĂNG CƠ BẢN

1. Một số phương pháp tính tích phân

I. Dạng 1: Tính tích phân theo công thức

Ví dụ 1: Tính các tính phân sau:

a)

1

3 0 I

(1 ) dx

x 

  . b)

1

0 I 1 x dx x    . c)

1

0

2 9 I 3 x dx x

    . d)

1

2 0 I

4

x dx x 

  .

Hướng dẫn giải

a)

1 1 1

3 3 2 0 0 0

(1 ) 1 3 I 8 (1 ) (1 ) 2(1 ) dx d x x x x           .

b)  

1 1

1

0 0 0

1 I 1 ln( 1) 1 ln 2 1 1 x dx dx x x x x                  .

c)  

1 1 1

0 0 0

2 9 3 I 2 2 3ln( 3) 3 6ln 2 3ln3 3 3 x dx dx x x x x                     .

d)   2 1 1 1 2 2 2 0 0 0

4 1 3 I ln | 4 | ln 2 4 4 4

d x x dx x x x

          .

DeThi.edu.vn

Bài tập áp dụng

1)

1

3 4 5

0 I ( 1) x x dx    . 2)  

1

3

0 I 2 1 x x dx     .

3)

1

0 I 1 x xdx    . 4)

16

0 I

9 dx x x 

   .

II. Dạng 2: Dùng tính chất cận trung gian để tính tích phân

Sử dụng tính chất [ ( ) ( )] ( ) ( )

b b b

a a a f x g x dx f x dx g x dx       để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.

Ví dụ 2: Tính tích phân

2

2

| 1| I x dx

    .

Hướng dẫn giải

Nhận xét: 1, 1 2 1 . 1, 2 1 x x x x x          

Do đó

   

1 2 2 1 2 1 2 2 2

2 2 1 2 1 2 1 | 1| | 1| | 1| 1 1 5. 2 2 x x I x dx x dx x dx x dx x dx x x

  

      

                               

Bài tập áp dụng

1)

3

2

4

| 4| I x dx

    . 2)

2

3 2

1

| 2 2| I x x x dx

      .

3)

3

0

| 2 4| x I dx    . 4)

2

2

2| sin | I x dx



   . 5)

0

1 cos2 I xdx

    .

III. Dạng 3: Phương pháp đổi biến số

1) Đổi biến số dạng 1

Cho hàm số f liên tục trên đoạn [ ; ]. a b Giả sử hàm số ( ) u u x  có đạo hàm liên tục trên đoạn [ ; ] a b và ( ) . u x     Giả sử có thể viết ( ) ( ( )) '( ), [ ; ], f x g u x u x x a b   với g liên tục trên đoạn [ ; ].  Khi đó, ta có

( )

( ) ( ) ( ) .

u b b

a u a I f x dx g u du    

Ví dụ 3: Tính tích phân

2

2

0

sin cos I x xdx



 .

Hướng dẫn giải

Đặt sin . u x  Ta có cos . du xdx  Đổi cận: 0 (0) 0; 1. 2 2 x u x u              

Khi đó

1 2

2 2 3

0 0

1 1 1 sin cos . 0 3 3 I x xdx u du u



     

Bài tập áp dụng

1)

1

2

0

1 I x x dx    . 2)

1

3

0

1 I x x dx    .

3)

1

1 ln e x I dx x   . 4)

2

2 2 ln

e

e

dx I

x x 

  .

DeThi.edu.vn