Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia môn Toán Lớp 12 - Chuyên đề 4 Số phức - Vũ Tuấn Anh

61

CHUYÊN ĐỀ 4: SỐ PHỨC

1. Kiến thức cơ bản. 1.1. Các khái niệm

1.2. Các phép toán trên số phức. * Phép cộng và phép trừ, nhân hai số phức. Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i. Ta định nghĩa:

* Phép chia số phức khác 0. Cho số phức z = a + bi ≠ 0 (tức là a2+b2 > 0 ) Ta định nghĩa số nghịch đảo z-1 của số phức z ≠ 0 là số

z-1=

Thương của phép chia số phức z’ cho số phức z ≠ 0 được xác định như sau:

2. Các dạng bài tập. 2.1. Dạng 1: Các phép toán trên số phức.

Ví dụ 1: Cho số phức z = . Tính các số phức sau: ; z2; ( )3; 1 + z + z2

Giải:

*Vì z =  =

3 1 2 2 i  z z

3 1 2 2 i  z 3 1 2 2 i 

' ( ') ( ') ' ( ') ( ') z z a a b b i z z a a b b i            

' ' ' ( ' ' ) zz aa bb ab a b i    

2 2 2 1 1 z z a b z  

'z z

1

2 ' '. . z z z z z z z

  

DeThi.edu.vn

62

*Ta có z2 = = =

 ( )2 =

( )3 =( )2. =

Ta có: 1 + z + z2 =

Ví dụ 2: Tìm số phức liên hợp của:

Giải:

Ta có .

Suy ra số phức liên hợp của z là:

Ví dụ 3: Tìm phần ảo của số phức z biết

Giải:

. Suy ra,

Phần ảo của số phức

Ví dụ 4: Tìm mô đun của số phức

Giải: Ta có:

Vậy mô đun của z bằng:

Ví dụ 5: Cho số phức z thỏa mãn . Tìm môđun của số phức

Giải:

Ta có: Do đó

Vậy

Ví dụ 6: Tìm các số thực thỏa mãn đẳng thức:

2 3 1 2 2 i         

2 3 1 3 4 4 2 i i   1 3 2 2 i 

z

2

2 3 1 3 1 3 1 3 2 2 4 4 2 2 2 i i i i              

z z z 1 3 3 1 3 1 3 3 2 2 2 2 4 2 4 4 i i i i i                   

3 1 1 3 3 3 1 3 1 2 2 2 2 2 2 i i i        

1 (1 )(3 2 ) 3 z i i i     

3 3 5 5 (3 )(3 ) 10 i i z i i i i        

53 9 10 10 z i  

(1 )(2 ) 1 2 i i z i    

5 1 1 5 5 i z i   

2 1 26 1 5 5 z         

  

2 2 1 2 z i i   

   1 2 2 1 2 5 2 z i i i      5 2 z i  

2 z 

 

3 1 3

1

i z i

   . z iz 

 

3 1 3 8 i   8 4 4 4 4 1 z i z i i      

  4 4 4 4 8 8 z iz i i i i      8 2. z iz  

,x y

DeThi.edu.vn

63

a) 3x + y + 5xi = 2y – 1 +(x – y)i b) (2x + 3y + 1) + ( –x + 2y)i = (3x – 2y + 2) + (4x – y – 3) i.

c)

Giải: a) Theo giả thiết: 3x + y + 5xi = 2y – 1 +(x – y)i (3x + y) + (5x)i = (2y – 1) +(x – y)i

 

b) Theo giả thiết ta có:

c) Ta có .

Suy ra

Bài tập tự luyện

Bài 1. Tìm các số thực x, y biết:

a) (3x –2) + (2y +1)i = (x + 1) – (y – 5)i; b) (2x + y) + (2y – x)i = (x – 2y + 3) + (y + 2x +1)i; Bài 2. Chứng minh z = (1+2i)(2 - 3i)(2+i) (3-2i ) là một số thực

Bài 3. Tìm các số thực x, y thỏa mãn đẳng thức:

Bài 4. Cho hai số phức: . Xác định phần thực, phần ảo của số phức

Bài 5. Tìm phần thực, phần ảo và mô đun của số phức:

a) b) c) z = 2i(3 + i)(2 + 4i)

d) z = e) z =

Bài 6. Tìm các số phức: và , biết .

Bài 7. Cho số phức z = 2 + 3i.Tìm phần thực và phần ảo của số phức

3 2 1

5

x y y

x x y

       

1 7 4 7

x

y

    

   

3 3 5 1 2 35 23 x i y i i     

9 2 3 1 3 2 2 5 1 11 2 4 3 5 3 3 4 11

x x y x y x y

x y x y x y y

                           

        3 2 1 2 1 2 1 2 3 4 1 2 2 11 i i i i i i        

   

3 3 5 1 2 35 23 x i y i i          3 5 2 11 35 23 x i y i i      

  

3 11 35 3 3 11 5 2 35 23 5 2 23 4 x y x x y x y i i x y y                    

3 (3 2 ) (1 2 ) 11 4 2 3 x i y i i i      

1 2 z 2 5 ; z 3 4 i i    

1 2 . z z

z (2 3 )(1 ) 4 i i i     3 (2 2 )(3 2 )(5 4 ) (2 3 ) z i i i i      

2 5 (1 3 )( 2 )(1 ) i i i i    

(1 2 )( 4 ) (1 )(4 3 ) i i i i    

2z z  25i

z z 3 4i  

1 z i w iz

  

DeThi.edu.vn