Chuyên đề luyện thi THPT Quốc gia môn Toán Phương pháp đồng nhất tìm nguyên hàm

1

PHƯƠNG PHÁP ĐỒNG NHẤT TÌM NGUYÊN HÀM

Một số nguyên hàm, đặc biệt là trong nguyên hàm từng phần, do biết trước dạng tổng quát, ta có thể tìm được kết quả bằng phương pháp đồng nhất hệ số. Sau đây là một số ví dụ. Ví dụ 1. Tìm họ nguyên hàm F(x) của hàm số (loại từng phần 2

lần). GIẢI. Vì đa thức trong F(x) có cùng bậc với đa thức trong f(x) nên ta có thể giả sử .

Từ định nghĩa của nguyên hàm, ta có:

Đồng nhất hệ số, ta có:

.

Vậy .

Ví dụ 2. Tìm họ nguyên hàm (loại từng phần 2 lần).

GIẢI. Vì đa thức trong F(x) có cùng bậc với đa thức trong hàm số lấy nguyên hàm nên ta có thể giả sử .

Từ định nghĩa của nguyên hàm, ta có:

Đồng nhất hệ số, ta có:

  2 x f (x) x 2x 3 e   

  2 x F(x) f (x)dx ax bx c e C      

      

     

   

2 x 2 x 2 x

x 2 x 2 x

2 x 2 x

F (x) f (x) ax bx c e ax bx c e x 2x 3 e

2ax b e ax bx c e x 2x 3 e

ax (2a b)x (b c) e x 2x 3 e ( x )

            

       

        ¡

a 1 a 1 2a b 2 b 4 b c 3 c 7

                    2 x F(x) x 4x 7 e C    

  2 F(x) 2x 3x 2 sin xdx    

    2 2 F(x) ax bx c sin x a x b x c cosx C          

       

 

 

2 2

2

2 2

F (x) f (x)

2ax b sin x ax bx c cosx 2a x b cosx a x b x c sin x

2x 3x 2 sin x

a x (2a b )x (b c ) sin x ax (2a

 

              

  

             

  2 b)x (c b ) cosx

2x 3x 2 sin x ( x )

  

   ¡

DeThi.edu.vn

2

.

Vậy .

NHẬN XÉT: + Ở hai ví dụ này, đa thức bậc càng cao thì hệ phương trình đồng nhất có số ẩn càng nhiều. + Ở Ví dụ 2, hệ phương trình đồng nhất khá cồng kềnh, lời giải dài, chưa chắc giải nhanh hơn cách tính trực tiếp. Ví dụ 3. Tính họ nguyên hàm (loại từng phần lặp).

GIẢI. Giả sử . Từ định nghĩa của nguyên hàm, ta có:

Vậy . NHẬN XÉT: Ở ví dụ 3 này, dùng đồng nhất làm khá nhanh. Sau đây là một số ví dụ dạng khác. Ví dụ 4. Tìm họ nguyên hàm .

GIẢI. Từ dạng của hàm số lấy nguyên hàm ta có dạng của F(x). Giả sử . Ta có:

.

Đồng nhất hệ số, ta có:

.

Vậy

a 2 a 2 2a b 3 b 4 b c 2 c 6 a 0 a 0 b 2a 0 b 3 c b 0 c 3

                                                2 F(x) 4x 3 sin x 2x 3x 6 cosx C      

x F(x) (5sin x 3cosx)e dx   

 

x F(x) asin x bcosx e C   

   

   

x x

x x acosx bsin x asin x bcosx e 5sin x 3cosx e

(a b)cosx (a b)sin x e 5sin x 3cosx e ( x )

a b 5 a 4 . a b 3 b 1

    

      

             

¡

 

x F(x) 4sin x cosx e C   

2 2 x x 1 F(x) (2x 3x 2)e dx     

 

2 x x 1 F(x) ax b e C    

   

2 2 x x 1 2 x x 1 F (x) a (ax b)(2x 1) e 2ax (a 2b)x (a b) e            

2a 2 a 1 a 2b 3 b 1 a b 2

            

 

2 x x 1 F(x) x 1 e C.    

DeThi.edu.vn

3

Ví dụ 5. Tìm họ nguyên hàm .

GIẢI. Vì hàm số cos có đa thức hệ số ở bậc 2 (cao nhất) và đa thức cung có bậc 2 nên ta có thể giả sử . Khi đó:

.

Đồng nhất hệ số, ta được:

.

Vậy .

Ví dụ 6. Tìm họ nguyên hàm .

GIẢI. Từ dạng của hàm số lấy nguyên hàm ta có dạng tổng quát của F(x).

Giả sử . Ta có:

.

Đồng nhất hệ số, ta có:

.

Vậy .

NHẬN XÉT: Ở các ví dụ 4, 5, 6 này, có ba vấn đề sau:

1. Nếu giải theo phương pháp truyền thống (thêm bớt, đổi biến, từng phần…) thì cũng không đơn giản lắm, đôi khi phải cần đến tính “khử tích phân” mới ra được kết quả

(các bạn thử tìm bằng phương pháp nguyên hàm từng phần hai lần).

Phương pháp đồng nhất hệ số có thể giúp giải quyết bài toán được thoải mái hơn. 2. Việc chọn đặt hàm số F(x) ở Ví dụ 5 (và cả Ví dụ 2) như thế nào tùy thuộc vào dạng của hàm số f(x). Nếu đặt gọn thì làm nhanh, còn đặt hơi cồng kềnh thì làm hơi phức tạp một chút vẫn cho kết quả. 3. Trong hệ phương trình đồng nhất, số phương trình nhiều hơn số ẩn. Điều đó cho thấy, để ra đề dạng này, cần giải bài toán thuận trước hoặc có sự kiểm tra trước kết quả.

  2 2 2 F(x) 2sin(x 3) (4x 2x)cos(x 3) dx      

   …