Bài giảng Toán Lớp 10 (Sách Chân trời sáng tạo) - Chương 5 - Bài 4 Tích vô hướng của hai vectơ - Năm học 2022-2023

BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN ĐẠI SỐ LỚP 10

BÀI 15 CHƯƠNG 4

HÌNH HỌC

Bài 4 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

LỚP

10

Góc giữa hai vecto 1

Tích vô hướng của hai vecto 2

Tính chất của tích vô hướng 3

DeThi.edu.vn

BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN ĐẠI SỐ LỚP 10

BÀI 15 CHƯƠNG 4

1 GÓC GIỮA HAI VECTƠ

HÌNH HỌC Bài 4 Chương V TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG

Cho hai vectơ Ԧ𝑎và 𝑏đều khác 0. Từ điểm O bất kỳ , dựng các vectơ 𝑂𝐴= Ԧ𝑎và 𝑂𝐵= 𝑏. Góc � 𝐴𝑂𝐵với số đo từ 00 đến 1800 được gọi là góc giữa hai vectơ Ԧ𝑎và 𝑏. + Quy ước:

Nếu Ԧ𝑎= 0 hoặc 𝑏= 0 thì ta xem góc giữa hai vectơ Ԧ𝑎và 𝑏là tùy ý (từ 00 đến 1800).

+ Kí hiệu: Ԧ𝑎; 𝑏là góc giữa 2 vectơ Ԧ𝑎và 𝑏.

+ Chú ý: Ԧ𝑎; 𝑏= 900 thì ta nói rằng Ԧ𝑎và 𝑏vuông góc với nhau, kí hiệu Ԧ𝑎⊥𝑏hoặc 𝑏⊥Ԧ𝑎

O

A

B

a

b a

b

DeThi.edu.vn

BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN ĐẠI SỐ LỚP 10

BÀI 15 CHƯƠNG 4 HÌNH HỌC Bài 2 Chương 2 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG

Tích vô hướng của hai véc tơ Ԧ𝑎và 𝑏là một số thực được xác định bởi: Ԧ𝑎. 𝑏= Ԧ𝑎. 𝑏. 𝑐𝑜𝑠( Ԧ𝑎, 𝑏).

* Khi Ԧ𝑎= 𝑏tích vô hướng Ԧ𝑎. Ԧ𝑎được kí hiệu là Ԧ𝑎2 và số này được gọi là bình phương vô hướng của vectơ Ԧ𝑎. Ta có Ԧ𝑎2 = Ԧ𝑎. Ԧ𝑎= Ԧ𝑎. Ԧ𝑎. 𝑐𝑜𝑠00 = Ԧ𝑎2

* Liên hệ giữa dấu tích vô hướng và góc giữa hai vectơ

+ 00 < Ԧ𝑎; 𝑏< 900 thì Ԧ𝑎. 𝑏> 0

+ 900 < Ԧ𝑎; 𝑏< 1800 thì Ԧ𝑎. 𝑏< 0

* Với Ԧ𝑎và 𝑏khác 0 ta có Ԧ𝑎. 𝑏= 0 ⇔Ԧ𝑎⊥𝑏.

Chú ý:

2 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

Bài 4 Chương V

DeThi.edu.vn

BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN ĐẠI SỐ LỚP 10

BÀI 15 CHƯƠNG 4 HÌNH HỌC Bài 2 Chương 2 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG

Cho tam giác đều 𝐴𝐵𝐶có cạnh bằng 𝑎và có chiều cao 𝐴𝐻. Tính các tích vô hướng sau: 𝐴𝐵. 𝐴𝐶, 𝐴𝐶. 𝐶𝐵, 𝐴𝐻. 𝐵𝐶.

𝐴𝐵. 𝐴𝐶= 𝐴𝐵. 𝐴𝐶. 𝑐𝑜𝑠𝐴𝐵, 𝐴𝐶= 𝑎. 𝑎. 𝑐𝑜𝑠6 00 = 1

2 𝑎2

𝐴𝐻. 𝐵𝐶= 𝑎3

2 . 𝑎. 𝑐𝑜𝑠9 00 = 0

Ví dụ 1

Lời giải:

𝐴𝐶. 𝐶𝐵= −𝐶𝐴. 𝐶𝐵= −𝑎. 𝑎. 𝑐𝑜𝑠6 00 = −1

2 𝑎2 Tương tự

2 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

Bài 4 Chương V

DeThi.edu.vn

BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN ĐẠI SỐ LỚP 10

BÀI 15 CHƯƠNG 4

TÍNH CHẤT CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG 3

HÌNH HỌC HÌNH HỌC Bài 2 Chương 2 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG

Với ba vectơ bất kì Ԧ𝑎, 𝑏, Ԧ𝑐và mọi số thực 𝑘ta luôn có:

1) Ԧ𝑎. 𝑏= 𝑏. Ԧ𝑎 2) Ԧ𝑎(𝑏± Ԧ𝑐) = Ԧ𝑎. 𝑏± Ԧ𝑎. Ԧ𝑐 3) 𝑘Ԧ𝑎𝑏= 𝑘 Ԧ𝑎. 𝑏= Ԧ𝑎𝑘𝑏

4) Ԧ𝑎2 ≥0, Ԧ𝑎2 = 0 ⇔Ԧ𝑎= 0 Chú ý: Ta có kết quả sau:

+ Nếu hai véc tơ Ԧ𝑎và 𝑏khác 0 thì Ԧ𝑎⊥𝑏⇔Ԧ𝑎. 𝑏= 0 + Ԧ𝑎. Ԧ𝑎= Ԧ𝑎2 = Ԧ𝑎2 gọi là bình phương vô hướng của véc tơ Ԧ𝑎.

+ ( Ԧ𝑎± 𝑏)2 = Ԧ𝑎2 ± 2 Ԧ𝑎. 𝑏+ 𝑏2, ( Ԧ𝑎+ 𝑏)( Ԧ𝑎−𝑏) = Ԧ𝑎2 −𝑏2

Bài 4 Chương V

DeThi.edu.vn

BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN ĐẠI SỐ LỚP 10

BÀI 15 CHƯƠNG 4 HÌNH HỌC Bài 2 Chương 2 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG

a) Cho hai vec tơ Ԧ𝑎, 𝑏có Ԧ𝑎= 2, 𝑏= 4 và Ԧ𝑎, 𝑏= 30𝑜.

Tính 2 Ԧ𝑎+ 5𝑏 3 Ԧ𝑎−𝑏.

b) Cho hai vecto Ԧ𝑎, 𝑏có Ԧ𝑎= 1, 𝑏= 4 và |2 Ԧ𝑎−3𝑏| = 10. Tính Ԧ𝑎. 𝑏.

Ví dụ 2

Lời giải:

a) 2 Ԧ𝑎+ 5𝑏 3 Ԧ𝑎−𝑏

b) |2 Ԧ𝑎−3𝑏| = 10

=6 Ԧ𝑎2 + 13 Ԧ𝑎. 𝑏−5𝑏2

= 6.4 +13.2.4.cos Ԧ𝑎, 𝑏−5.16 = 52 3 −56

⇔2 Ԧ𝑎−3𝑏

2

=100

⇔4 Ԧ𝑎2 −12 Ԧ𝑎. 𝑏+ 9𝑏2 = 100

⇔4.1 −12 Ԧ𝑎. 𝑏+ 9.42 = 100⇒Ԧ𝑎. 𝑏= 4 .

Bài 4 Chương V

DeThi.edu.vn

BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN ĐẠI SỐ LỚP 10

BÀI 15 CHƯƠNG 4 HÌNH HỌC HÌNH HỌC Bài 2 Chương 2 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG

a) AB ⋅AC

Ví dụ 3

Lời giải:

Cho hình vuông ABCD tâm I, cạnh a.

a) Tính AB. AC, AC. BD.

b) Tính (AB + AD).(IB + IC).

b) Tính (AB + AD)(IB + IC)

A B

C D

I

= AB ⋅AC. cos(AB, AC) = 𝑎2

AC. BD = 0 do AC vuông góc với BD

= AC. (IB + AI) = AB. AC = 𝑎2

Bài 4 Chương V

DeThi.edu.vn