Đề khảo sát HSG lớp 7 môn Toán năm 2022 2023 trường THCS Đồng Xuân Vĩnh Phúc

TRƯỜNG THCS ĐỒNG XUÂN

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI

NĂM HỌC 2022-2023 ĐỀ THI MÔN: TOÁN 7 Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Đề thi này gồm 01 trang Câu 1. (4,0 điểm)

1. Tính giá trị biểu thức: 1 1 1 1 1 . 1 . 1 . 1 ... 1 2 1.3 2.4 3.5 2021.2023 A       = + + + +            

2. Tìm ,x y biết:

2 1 2 3 12 0 6 x y   − + + ≤    

.

Câu 2. (2,0 điểm). Cho 2023 x y z + + = và 1 1 1 1 7 x y y z z x + + = + + + . Tính giá trị của biểu thức

x y z P y z z x x y = + + + + + .

Câu 3. (2,0 điểm). Tìm các cặp số nguyên ( ) ;x y biết: 1 1 7 1 x y + = −.

Câu 4. (2,0 điểm). Tìm số chính phương có 4 chữ số biết rằng nếu cộng chữ số hàng nghìn với

3 và trừ chữ số hàng đơn vị đi 3 ra vẫn được một số chính phương.

Câu 5. (2,0 điểm). Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng 2 1 24 p − .

Câu 6. (1,0 điểm). Một người gửi tiết kiệm tại ngân hàng với số tiền là 200 triệu đồng, gửi theo

lãi suất 6% kỳ hạn 1 năm lĩnh lãi mỗi quý (3 tháng). Theo quy định nếu đến hạn mà người gửi

không đến lĩnh lãi thì số tiền lãi đó sẽ được nhập vào vốn gửi ban đầu. Do công việc người đó

không đến lĩnh kỳ quý thứ nhất, các quý còn lại thì vẫn được lĩnh lãi bình thường. Vậy tổng số

tiền gửi và lãi sau 1 năm là bao nhiêu?

Câu 7. (2,0 điểm). Cho tam giác ABC có  90 A = °. Kẻ AH vuông góc với BC ( H thuộc BC ).

Tia phân giác của góc HAC cắt cạnh BC ở điểm D và tia phân giác của góc HAB cắt cạnh BC

ở E . Chứng minh AB AC BC DE + = + .

Câu 8. ( 4,0 điểm). Cho ABC ∆ vuông cân tại A. Gọi M là trung điểm của BC . Lấy điểm E nằm giữa hai điểm C và . M Kẻ BH và CK lần lượt vuông góc với đường thẳng AE ( , H K thuộc đường thẳng AE ). a) Chứng minh: BH AK = ; b) Chứng minh: AHM CKM ∆ = ∆ .

Câu 9. (1,0 điểm). Cho 1 1 1 1 ... 1.2 3.4 5.6 99.100 A = + + + + . Chứng minh rằng 7 5 12 6 A < < .

…………………Hết………………. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ tên thí sinh....................................................................SBD:.................phòng thi.........

ĐỀ CHÍNH THỨC

HƯỚNG DẪN CHẤM Câu 1. (4,0 điểm)

1. Tính giá trị biểu thức: 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 1 2 1.3 2.4 3.5 2021.2023 A       = + + + +            

.

2. Tìm ,x y biết:

2 1 2 3 12 0 6 x y   − + + ≤    

.

Ý Nội dung Điểm 1.

1 1 1 1 1 1 1 1 ... 1 2 1.3 2.4 3.5 2021.2023 A       = + + + +            

1 2 2 3 3 4 4 2022 2022 . . . ... . 2 1 3 2 4 3 5 2021 2023       =            

1,0

2022 2023 = 1,0

2.

Ta có:

2 1 2 0 6 x   − ≥    

và 3 12 0 y + ≥ với mọi ;x y .

Nên

2 1 2 3 12 0 6 x y   − + + ≥    

.

Do đó

2 1 2 3 12 0 6 x y   − + + ≤    

khi

2 1 1 2 0 6 12 4 3 12 0

x x

y y

   − = =     ⇒       = − + =  

.

Vậy

1 12 4

x

y

=   = − 

.

0,5 0,5 0,5 0,5

Câu 2. (2,0 điểm) Cho 2023 x y z + + = và 1 1 1 1 7 x y y z z x + + = + + + . Tính giá trị của biểu thức

x y z P y z z x x y = + + + + + .

Ý Nội dung Điểm

Ta có: x y z P y z z x x y = + + + + +

3 1 1 1 x y z P y z z x x y ⇒ + = + + + + + + + +

0,5